[論文レビュー] Generalized L$_p$-norm joint inversion of gravity and magnetic data using cross-gradient constraint

Saeed Vatankhah, Shuang Liu+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2020

Geophysical and Geoelectrical Methods参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、密度モデルと感受率モデル間の構造的類似性を向上させるためにクロス勾配制約を用いた、重力および磁気データの統合的Lp-ノルム逆問題フレームワークを提示する。L0、L1、L2の安定化項を組み込み、反復的共役勾配最適化と適応的正則化を採用することで、個々の逆問題と比較して、特に滑らかでない（ブロック型の）特徴を有する3次元の合成モデルにおいても、物理的に妥当な地下構造の再構築が向上することを示している。

ABSTRACT

A generalized unifying approach for $L_{p}$-norm joint inversion of gravity and magnetic data using the cross-gradient constraint is presented. The presented framework incorporates stabilizers that use $L_{0}$, $L_{1}$, and $L_{2}$-norms of the model parameters, and/or the gradient of the model parameters. Furthermore, the formulation is developed from standard approaches for independent inversion of single data sets, and, thus, also facilitates the inclusion of necessary model and data weighting matrices that provide, for example, depth weighting and imposition of hard constraint data. The developed efficient algorithm can, therefore, be employed to provide physically-relevant smooth, sparse, or blocky target(s) which are relevant to the geophysical community. Here, the nonlinear objective function, that describes the inclusion of all stabilizing terms and the fit to data measurements, is minimized iteratively by imposing stationarity on the linear equation that results from applying linearization of the objective function about a starting model. To numerically solve the resulting linear system, at each iteration, the conjugate gradient algorithm is used. The general framework is then validated for three-dimensional synthetic models for both sparse and smooth reconstructions, and the results are compared with those of individual gravity and magnetic inversions. It is demonstrated that the presented joint inversion algorithm is practical and significantly improves reconstructed models obtained by independent inversion.

研究の動機と目的

• 複数の安定化項（L0、L1、L2）を統合した、重力および磁気データの統合的で一般化されたフレームワークを、単一の最適化スキーム内で開発すること。
• 物性的関係を前提とせず、密度モデルと感受率モデル間の構造的一致性を強制するためのクロス勾配制約を組み込むこと。
• Lp-ノルムのパラメータおよび正則化重みの選択により、最終モデルの特性（滑らか、スパース、またはブロック型）を柔軟に制御できること。
• 深さ重み付け、ハード制約、境界制約を統合的逆問題プロセスに組み込むことで、逆問題の安定性と精度を向上させること。
• 3次元の合成モデルを用いた検証を行い、個々の重力および磁気逆問題と比較して、優れた再構築性能を示すこと。

提案手法

• 非線形の目的関数を定式化し、データ不適合項、モデルパラメータまたはその勾配に対する一般化されたLp-ノルム安定化項、およびモデル間の構造的特徴を一致させるためのクロス勾配制約を統合する。
• 初期モデルの周囲で目的関数を線形化し、各反復ステップで共役勾配（CG）法を用いて得られる線形方程式系を解くことで、目的関数を反復的に最小化する。
• 正則化パラメータを反復の過程で適応的に調整し、初期値を大きくして時間経過とともに減少させる。同時に、クロス勾配項にバランス重みを適用する。
• 深さ重み付けとハード制約行列を組み込み、深部の分解能を向上させるとともに、既知のモデル値を含める。境界制約は各反復ごとに適用する。
• Lp-ノルムにおけるpの選択により、L0、L1、L2のさまざまな安定化項をサポートし、最終モデルにおける滑らかさ、スパarsity、またはブロック性を制御可能である。
• 既知の密度および感受率分布を有する3次元の合成モデルを用いてアルゴリズムを検証し、独立した逆問題との比較を通じて、統合的逆問題の結果を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統合的Lp-ノルムフレームワークは、重力および磁気データの統合的逆問題に、L0、L1、L2の複数の安定化項を効果的に統合できるか？
• RQ2 クロス勾配制約の導入により、密度および感受率モデルの構造的一致性と精度はどの程度向上するか？
• RQ3 本手法は滑らかでない（ブロック型の）地下構造をどの程度正確に再構築できるか。また、個々の逆問題と比較して、その性能はいかがなものか？
• RQ4 適応的正則化パラメータの調整および深さ重み付けの影響は、逆問題の収束性およびモデル忠実度にどのような影響を及えるか？
• RQ5 一部の特徴（例えば、傾斜するダイクや垂直ダイク）のデータが不完全な場合でも、本手法は信頼性を持って地下構造を再構築できるか？

主な発見

• クロス勾配制約を有する統合的逆問題は、合成モデルにおいて傾斜するダイクおよび垂直ダイクを効果的に再構築でき、密度モデルと感受率モデルの構造的特徴が真のモデルとよく一致した。
• L1-ノルム安定化項のケースでは、密度分布と感受率分布の間で高い構造的一致性が得られ、非支持領域（例：垂直ダイクに対して感受率応答なし）の誤った再構築をアルゴリズムが正しく回避した。
• L1-ノルムケースでは58反復で収束し、勾配のL2-ノルムケースでは最大100反復まで達した。これは、異なる安定化項に対しても収束性が良好であることを示している。
• 個々の重力および磁気逆問題と比較して、統合的逆問題による再構築モデルは、特に複雑な3次元幾何形状を解明する点で、顕著に高い精度と構造的一致性を示した。
• 初期に大きな正則化パラメータを設定し、反復の進行に従って減少させる適応的正則化戦略は、収束の安定性とモデル品質の向上に有効であることが判明した。
• 深さ重み付けとハード制約の統合に成功し、深部構造の分解能向上と既知の値のモデル内への組み込みが可能となった。