[論文レビュー] Generalized Landau-Lifshitz systems and Lie algebras associated with higher genus curves

Sergei Igonin, Johan van de Leur+2 more|ArXiv.org|Nov 28, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、n次元一般化Landau-Lifshitz方程式にWahlquist-Estabrook拡張法を適用し、そのWahlquist-Estabrook代数から、種数 $ 1 + (n-3)2^{n-2} $ の代数曲線に関連する無限次元準階付きLie代数 $ L(n) $ へのepimorphismを構成する。$ n = 3,4,5 $ の場合、WE代数が $ L(n) \oplus \mathbb{C}^2 $ に同型であることが証明され、曲線上の点によってパrameter化される新しいMiura型変換の族が得られる。

ABSTRACT

The Wahlquist-Estabrook prolongation method allows to obtain for some PDEs a Lie algebra that is responsible for Lax pairs and Backlund transformations of certain type. We study the Wahlquist-Estabrook algebra of the n-dimensional generalization of the Landau-Lifshitz equation and construct an epimorphism from this algebra onto an infinite-dimensional quasigraded Lie algebra L(n) of certain matrix-valued functions on an algebraic curve of genus 1+(n-3)2^{n-2}. For n=3,4,5 we prove that the Wahlquist-Estabrook algebra is isomorphic to the direct sum of L(n) and a 2-dimensional abelian Lie algebra. Using these results, for any n a new family of Miura type transformations (differential substitutions) parametrized by points of the above mentioned curve is constructed. As a by-product, we obtain a representation of L(n) in terms of a finite number of generators and relations, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• n次元一般化Landau-Lifshutz方程式のWahlquist-Estabrook（WE）代数の構造を特定すること。
• 種数 $ 1 + (n-3)2^{n-2} $ の代数曲線に関連するWE代数の幾何学的・代数的性質を調査すること。
• WE代数と、曲線上の行列値関数として定義される無限次元準階付きLie代数 $ L(n) $ の間の関係を確立すること。
• 曲線上の点によってパrameter化される新しいMiura型変換（微分的置換）の族を構成すること。
• 曲線の幾何に依存しない生成元と関係式による $ L(n) $ の有限提示を提供すること。

提案手法

• 一般化Landau-LifshutzPDE系にWahlquist-Estabrook拡張法を適用し、生成元と関係式を用いたLie代数構造を導出する。
• WE代数から、種数 $ 1 + (n-3)2^{n-2} $ の代数曲線上の行列値関数として定義される準階付きLie代数 $ L(n) $ へのepimorphismを構成する。
• $ n = 3,4,5 $ の場合、WE代数が $ L(n) $ と2次元アーベルLie代数の直和に同型であることを証明する。
• $ L(n) $ と、生成元 $ p_1, \dots, p_n $ および対角行列 $ R = \mathrm{diag}(r_1, \dots, r_n) $ を含む特定の二次関係式によって定義されるLie代数との同型を確立する。
• Lie代数におけるヤコビ恒等式と再帰的関係を用いて、代数的構造の閉包性および特定の交換子の消滅を検証する。
• 曲線の幾何的および代数的構造と関連するLie代数を用いて、Miura型変換を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n次元一般化Landau-Lifshutz方程式のWahlquist-Estabrook代数の構造は何か？
• RQ2 WE代数は、種数 $ 1 + (n-3)2^{n-2} $ の代数曲線に関連する無限次元準階付きLie代数 $ L(n) $ とどのように関係しているか？
• RQ3 $ n $ がどの値のとき、WE代数が $ L(n) \oplus \mathbb{C}^2 $ に同型となるか？この同型の意味は何か？
• RQ4 曲線とLie代数構造から、新しいMiura型変換の族を構成できるか？
• RQ5 $ L(n) $ の有限提示（生成元と関係式によるもの）は何か？これはすべての $ n \geq 3 $ に対して成り立つか？

主な発見

• $ n = 3,4,5 $ の場合、一般化Landau-Lifshutz系のWahlquist-Estabrook代数は、準階付きLie代数 $ L(n) $ と2次元アーベルLie代数の直和に同型である。
• $ L(n) $ は、生成元 $ p_1, \dots, p_n $ と関係式 $ [p_i, [p_i, p_k]] - [p_j, [p_j, p_k]] = (r_j - r_i)p_k $（$ i \neq k, j \neq k $）および $ [p_i, [p_j, p_k]] = 0 $（$ i,j,k $ が互いに異なるとき）によって定義されるLie代数と同型である。
• 系に関連する代数曲線の種数は $ 1 + (n-3)2^{n-2} $ であり、Lie代数 $ L(n) $ はこの曲線上の行列値関数として実現される。
• 種数 $ 1 + (n-3)2^{n-2} $ の代数曲線上の点によってパrameter化される、新しいMiura型変換の族が構成された。
• 本稿では、曲線の幾何に依存しない有限生成元と関係式による $ L(n) $ の有限提示が提供され、これはLie代数論において独立した価値を持つ可能性がある。
• $ n=3 $ の場合、WE代数は異方性Landau-Lifshutz方程式のそれと同型であり、既知の結果と整合性が確認された。