[論文レビュー] Generalized Lie bialgebras and Jacobi structures on Lie groups

David Iglesias, Juan Carlos Marrero|ArXiv.org|Feb 21, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特別なジャコビ構造を備えたリー群の無限小不変量として一般化されたリー双代数を導入し、古典的なリー双代数枠組みを拡張する。一般化されたリー双代数とリー群上のジャコビ構造の間の対応関係を確立し、構成のためのヤン・バクスター方程式法を一般化し、コンパクトな一般化されたリー双代数を完全に分類する。非自明な1-コサイクルは、su(2)の場合にのみ発生することが示される。

ABSTRACT

We study generalized Lie bialgebroids over a single point, that is, generalized Lie bialgebras. Lie bialgebras are examples of generalized Lie bialgebras. Moreover, we prove that the last ones can be considered as the infinitesimal invariants of Lie groups endowed with a certain type of Jacobi structures. We also propose a method to obtain generalized Lie bialgebras. It is a generalization of the Yang-Baxter equation method. Finally, we describe the structure of a compact generalized Lie bialgebra.

研究の動機と目的

• 一般化されたリー双代数とリー群上のジャコビ構造の間の対応関係を確立し、リー双代数とポissonリー群の既知の関係を一般化する。
• リー双代数の構成に用いられるヤン・バクスター方程式法を一般化された設定に拡張し、一般化されたリー双代数の新たな構成を可能にする。
• 非自明な1-コサイクルを有するコンパクトな一般化されたリー双代数を分類し、特にその構造が存在する条件とそれらに伴うリー代数的制約を特定する。
• 特に接触構造および局所的にコンフォールムシンプレクティック構造の文脈において、リー代数上の代数的ジャコビ構造と一般化されたリー双代数との関係を調査する。

提案手法

• 一般化されたリー双代数を、$\mathfrak{g}$ をリー代数とし、$\phi_0 \in \mathfrak{g}^*$ を1-コサイクルとし、$X_0 \in \mathfrak{g}$ を双対における1-コサイクルとするペア $((\mathfrak{g}, \phi_0), (\mathfrak{g}^*, X_0))$ として定義し、適合性条件を満たすものとする。
• シューテン・ナイヘンイズ括弧を用いて、$[\Lambda, \Lambda] = 2E \wedge \Lambda$ および $[E, \Lambda] = 0$ を満たすペア $(\Lambda, E)$ を用いて、リー群上のジャコビ構造を定義する。
• 古典的なリー双代数の構成法を拡張し、一般化されたヤン・バクスター方程式法を用いて一般化されたリー双代数を構成する。
• 代数的ジャコビ構造の理論をリー代数に適用し、特に接触構造および局所的にコンフォールムシンプレクティック構造に注目する。
• 表現論的およびコホモロジー的技法を用いて、特に $\mathrm{ad}$-不変内積を活用して、コンパクトな一般化されたリー双代数を分析する。
• 任意のコンパクトリー代数に非自明な代数的接触構造が存在するならば、それは $\mathfrak{su}(2)$ に同型であることを示し、特徴的方角の最大性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたリー双代数は、ジャコビ構造を備えたリー群の無限小不変量としてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 一般化されたヤン・バクスター方程式法とは何か？ そして、古典的構成法をどのように一般化するか？
• RQ3 どのコンパクトリー代数が非自明な一般化されたリー双代数構造を有するか？ また、1-コサイクル $\phi_0$ および $X_0$ に課される制約は何か？
• RQ4 リー代数上の代数的ジャコビ構造とそれに対応する一般化されたリー双代数との正確な関係は何か？
• RQ5 非自明な1-コサイクルを有するすべてのコンパクトな一般化されたリー双代数を分類可能か？ そして、リー代数構造がこの分類において果たす役割は何か？

主な発見

• 一般化されたリー双代数は、ジャコビ構造を備えたリー群の無限小不変量であり、リー双代数とポissonリー群の間の既知の対応関係を一般化する。
• 一般化されたヤン・バクスター方程式法により、リー代数上の代数的ジャコビ構造から一般化されたリー双代数を体系的に構成できる。
• 非自明な一般化されたリー双代数構造を有するコンパクトリー代数で、$\phi_0 \neq 0$ または $X_0 \neq 0$ であるものは、すべて $\mathfrak{su}(2)$ に同型である。
• すべての $\mathfrak{su}(2)$ 上の代数的接触構造は、$\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3) \neq 0$ である1形式 $\eta = \mu_1 e^1 + \mu_2 e^2 + \mu_3 e^3$ から生じ、関連する一般化されたリー双代数は $r = \lambda^1 e_2 \wedge e_3 - \lambda^2 e_1 \wedge e_3 + \lambda^3 e_1 \wedge e_2$、$X_0 = - (\lambda^1 e_1 + \lambda^2 e_2 + \lambda^3 e_3)$ で与えられ、ここで $\lambda^i = -\mu_i / (\mu_1^2 + \mu_2^2 + \mu_3^2)$ である。
• 次元が $2k+1$ のコンパクトリー代数 $\mathfrak{h}$ が非自明な代数的接触構造を有するならば、$k=1$ であり、$\mathfrak{h} \cong \mathfrak{su}(2)$ である。特徴的方角は最大アーベル部分代数を生成する。
• 一般化されたリー双代数設定において非自明な1-コサイクルが存在することは、リー代数が単純かつランク1でなければならないことを示唆し、これによりコンパクトな例は $\mathfrak{su}(2)$ に制限される。