[論文レビュー] Generalized Maiorana-McFarland Constructions for Almost Optimal Resilient Functions

Weiguo Zhang, Xiao Guo-zhen|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、偶数および奇数の変数に対して、高い非線形性を有するほぼ最適な耐故障性ブール関数を生成する一般化 Maiorana-McFarland (GMM) 構成法を提案する。古典的な M-M 構成法を、互いに素な線形符号と単射写像を用いて拡張することで、偶数 $n$ に対して非線形性 $2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$（$k < n/2$）を達成し、奇数 $n$ に対しては Patterson-Wiedemann または Kavut-Y"ucel 関数を用いてより高い非線形性を実現する。本手法は、非線形性が $2^{n-1} - 2^{n/2}$ を超える複数出力耐故障性関数の構成を可能とし、厳密なアバランチ基準 (SAC) と次数最適化を保証する。

ABSTRACT

In a recent paper \cite{Zhang-Xiao}, Zhang and Xiao describe a technique on constructing almost optimal resilient functions on even number of variables. In this paper, we will present an extensive study of the constructions of almost optimal resilient functions by using the generalized Maiorana-McFarland (GMM) construction technique. It is shown that for any given $m$, it is possible to construct infinitely many $n$-variable ($n$ even), $m$-resilient Boolean functions with nonlinearity equal to $2^{n-1}-2^{n/2-1}-2^{k-1}$ where $k2^{n-2}-2^{(n-1)/2}$ ($n$ odd) by using Patterson-Wiedemann functions or Kavut-Y$\ddot{u}$cel functions. Finally, we provide a GMM construction technique for multiple-output almost optimal $m$-resilient functions $F: \mathbb{F}_2^n\mapsto \mathbb{F}_2^r$ ($n$ even) with nonlinearity $&gt;2^{n-1}-2^{n/2}$. Using the methods proposed in this paper, a large class of previously unknown cryptographic resilient functions are obtained.

研究の動機と目的

• 既存の手法を上回る非線形性を有するほぼ最適な耐故障性ブール関数の一般化構成技術の開発。
• 互いに素な線形符号と単射写像を組み合わせることで、古典的な Maiorana-McFarland 系列を拡張し、非線形性と耐故障性を向上。
• 高い非線形性と最適な代数的次数を維持しつつ、厳密なアバランチ基準 (SAC) を満たす耐故障性関数の構築。
• 非線形性が $2^{n-1} - 2^{n/2}$ を超える複数出力耐故障性関数 $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^r$ を生成するフレームワークの提供。
• 耐故障性関数の非線形性に関する理論的上限を検討し、これらの上限のタイトネスに関する仮説を提示。

提案手法

• 互いに素な線形符号 $\{C_1, \dots, C_u\}$ および $\{C'_1, \dots, C'_v\}$ を用いた一般化 Maiorana-McFarland (GMM) 構成法を提案。各符号の次元は $r$ で、最小重量は $m+1$ 以上であり、$u$ および $v$ を最大化する。
• 部分集合 $E_0$ および $E_1$ から $\mathbb{F}_2^{n/2}$ への単射写像 $\psi_i$ および $\phi_i$ を、基底写像から導かれる行列表現を用いて、それぞれコード空間 $T_0$ および $T_1$ に定義する。
• 関数 $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^r$ を次のように構成する：$f_i(X_n) = \psi_i(X'_{n/2}) \cdot X''_{n/2}$（$X'_{n/2} \in E_0$ の場合）、および $f_i(X_n) = \phi_i(X'_{n-k}) \cdot X''_k$（$X'_{n-k} \in E_1$ の場合）。ここで $k$ は基数条件によって定まる。
• 成分関数のワルシュ変換を解析し、最大絶対ワルシュ係数を制限することで、非線形性の式 $N_f = 2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$ を導出する。
• 奇数 $n$ の場合、Patterson-Wiedemann または Kavut-Y"ucel 関数を用いて、非線形性 $> 2^{n-2} - 2^{(n-1)/2}$ を達成する。
• 写像と符号構造の設計により、ハミング重みが 1 のすべての $\alpha$ に対して自己相関関数が 0 になるようにすることで、SAC を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化 Maiorana-McFarland 構成法は、偶数 $n$ および $k < n/2$ の場合に、非線形性 $2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$ を有する無限に多くの $n$ 変数 $m$-耐故障性ブール関数を生成できるか？
• RQ2 GMM 構成法を修正することで、得られる耐故障性関数が厳密なアバランチ基準 (SAC) を満たすようにできるか？
• RQ3 奇数 $n$ の場合、既知の高非線形関数（Patterson-Wiedemann や Kavut-Y"ucel）を用いて、非線形性が $2^{n-2} - 2^{(n-1)/2}$ を超えるか？
• RQ4 GMM フレームワークを、偶数 $n$ に対して非線形性 $> 2^{n-1} - 2^{n/2}$ を満たす複数出力耐故障性関数 $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^r$ に拡張できるか？
• RQ5 耐故障性関数の非線形性に関する理論的上限は何か？また、それらの上限はどの程度タイトか？

主な発見

• GMM 構成法は、偶数 $n$ に対して $k < n/2$ の場合、非線形性 $2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$ を有する無限に多くの $n$ 変数 $m$-耐故障性ブール関数を生成し、ほぼ最適な非線形性を達成する。
• 単射写像および符号構造の注意深い設計により、構築された関数が厳密なアバランチ基準 (SAC) を満たすことが保証される。
• 奇数 $n \geq 12$ の場合、Patterson-Wiedemann または Kavut-Y"ucel 関数の使用により、非線形性 $> 2^{n-2} - 2^{(n-1)/2}$ を有する耐故障性関数を構築可能であり、奇数 $n$ の既知の境界を上回る。
• 本構成法は、偶数 $n$ に対して複数出力関数 $F: \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^r$ に拡張され、非線形性 $> 2^{n-1} - 2^{n/2}$ を達成し、$NF = 2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{k-1}$ を満たす。
• 構築された関数の代数的次数は最適化可能であり、本手法により次数最適化耐故障性関数の構築が可能である。
• 本稿では、$m$-耐故障性関数の非線形性の上限に関する3つの仮説を提示。$m < \lceil n/4 \rceil$ の場合、$N_f \leq 2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{\lfloor n/4 \rfloor + m - 1}$ が成り立ち、$\lceil n/4 \rceil \leq m \leq n/2 - 2$ の場合、$N_f < 2^{n-1} - 2^{n/2-1} - 2^{m+1}$ が成り立つ。複数出力関数の場合は、$m + r \leq n/2 - 1$ の制約が存在する。