[論文レビュー] Generalized Multiscale Finite Element Method for Elasticity Equations

Eric T. Chung, Yalchin Efendiev+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、地下地震波モデリングに一般的に見られる高異方性・高対比媒体における弾性方程式を解くための一般化された多スケール有限要素法（GMsFEM）を提案する。局所スペクトル分解を用いてスナップショット空間とオフライン空間を構築し、連続および不連続ガレルキン結合を併用することで、特にオーバーサンプリングおよび調和拡張に基づくスナップショット空間を用いることで、自由度を著しく削減しつつも高い精度の解を得られる。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the application of Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM) to elasticity equation in heterogeneous media. Our applications are motivated by elastic wave propagation in subsurface where the subsurface properties can be highly heterogeneous and have high contrast. We present the construction of main ingredients for GMsFEM such as the snapshot space and offline spaces. The latter is constructed using local spectral decomposition in the snapshot space. The spectral decomposition is based on the analysis which is provided in the paper. We consider both continuous Galerkin and discontinuous Galerkin coupling of basis functions. Both approaches have their cons and pros. Continuous Galerkin methods allow avoiding penalty parameters though they involve partition of unity functions which can alter the properties of multiscale basis functions. On the other hand, discontinuous Galerkin techniques allow gluing multiscale basis functions without any modifications. Because basis functions are constructed independently from each other, this approach provides an advantage. We discuss the use of oversampling techniques that use snapshots in larger regions to construct the offline space. We provide numerical results to show that one can accurately approximate the solution using reduced number of degrees of freedom.

研究の動機と目的

• スケール分離が成立しないため、古典的ホモジゲン化法が失敗する、異種性が高く対比比の大きな媒体における弾性方程式の解法の課題に対処すること。
• 亀裂、ボルト、空洞を有する複雑な地下形成における定常状態弾性問題のためのモデル還元技術を開発すること。
• 自由度の大幅な削減を実現しつつも精度を維持する多スケール法を設計すること。
• 連続ガレルキン（CG）および不連続ガレルキン（DG）法の2つのグローバル結合戦略の比較と分析を行うこと。
• オーバーサンプリングおよび異なるスナップショット空間構築法が収束性および精度に与える影響を調査すること。

提案手法

• 各粗格子ブロックにおいて、すべての細粒度関数または調和拡張を用いてスナップショット空間を構築し、局所的な解の挙動を捉える。
• スナップショット空間内で局所スペクトル分解を実施し、変動の主要モードを表す多スケール基底関数を抽出する。
• スペクトル分解からオフライン空間を構築し、次元削減のための最も顕著なモードのみを保持する。
• 2つのグローバル結合法を実装する：分区分関数を用いた連続ガレルキン（CG）法と、対称内部ペナルティ法を用いた不連続ガレルキン（DG）法。
• 固有値問題の定義領域を粗格子要素を越えて拡張することでオーバーサンプリングを適用し、基底関数の品質を向上させるとともに次元を削減する。
• 得られた多スケール基底関数を用いて、次元削減された空間でグローバルな弾性問題を解き、自由度を最小限に抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高対比でスケール分離のない媒体における弾性方程式に対して、多スケール基底関数をどのように効率的に構築できるか。
• RQ2 GMsFEMにおける弾性問題において、連続ガレルキン法と不連続ガレルキン法の相対的な性能（精度および安定性）はいかほどか。
• RQ3 オーバーサンプリングは、弾性問題におけるGMsFEMの収束性およびロバストネスをどの程度向上させるか。
• RQ4 スナップショット空間の選択（例：調和拡張 vs. 全ての細粒度関数）が多スケール解の精度に与える影響は何か。
• RQ5 提案されたGMsFEMは、高対比弾性問題において、自由度を削減した状態で最適収束率を達成できるか。

主な発見

• 調和拡張に基づくスナップショット空間の使用は、標準的な細粒度スナップショット空間よりも優れた収束特性を示す。
• オーバーサンプリング技術は、多スケール基底関数の品質を向上させることで、GMsFEMの精度および収束速度を顕著に向上させる。
• 不連続ガレルキン法は、基底関数の独立的構築が可能であり、連続ガレルキン法に比べて計算および実装上の利点を有する。
• 連続ガレルキン法では分区分関数が必要であり、多スケール基底関数の性質を変更する可能性があるが、ペナルティパラメータを回避できる。
• 数値結果により、高対比媒体においても自由度を削減した状態で、GMsFEMが細粒度解を精度良く近似できることを確認した。
• 理論的誤差境界から、誤差はスペクトルギャップおよび境界フラックス項に依存し、オフライン空間が主要モードを捉えている場合に収束速度が向上することが示された。