[論文レビュー] Generalized Nonlinear Wave Equation in Frequency Domain

Hairun Guo, Xianglong Zeng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2013

Optical Network Technologies参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、スローリー・ヴァリィング・スペクトル・アモルチュード近似を用いて、三次までの極化を有する非線形媒体内の電場ダイナミクスをモデル化する周波数領域における一般化された非線形波動方程式（NWEF）を導入する。2つの形態を導出している：一つはバルク材料における平面波伝搬を対象としたもので、もう一つは波ガイド構造を対象としたもので、空間モード分布と、三波混合、四波混合、ラマン効果といった非線形プロセスを周波数依存の感受率に類する項を介して組み込んでいる。

ABSTRACT

We interpret the forward Maxwell equation with up to third order induced polarizations and get so called nonlinear wave equation in frequency domain (NWEF), which is based on Maxwell wave equation and using slowly varying spectral amplitude approximation. The NWEF is generalized in concept as it directly describes the electric field dynamics rather than the envelope dynamics and because it concludes most current-interested nonlinear processes such as three-wave mixing, four-wave-mixing and material Raman effects. We give two sets of NWEF, one is a 1+1D equation describing the (approximated) planar wave propagation in nonlinear bulk material and the other corresponds to the propagation in a waveguide structure.

研究の動機と目的

• 周囲近似を越えて、周波数領域における非線形光波動の伝搬を包括的にモデル化するフレームワークの構築を目的とする。
• 三波混合、四波混合、ラマン効果といった主要な非線形プロセスを、一つの波動方程式に統一的に記述することを目的とする。
• 波ガイドにおける空間モード分布を考慮し、モード依存の非線形波動方程式を導出することを目的とする。
• スローリー・ヴァリィング・スペクトル・アモルチュード近似を用いて、三次までの誘導極化を直接扱うことにより、非線形性を組み込むことを目的とする。
• 標準的な非線形シュレーディンガー方程式を一般化し、包絡線のダイナミクスではなく電場ダイナミクスそのものを直接的にモデル化することを目的とする。

提案手法

• 時間領域におけるマクスウェル方程式からフーリエ変換を用いて周波数領域におけるマクスウェル波動方程式を導出する。
• 時間領域における感受率関数を用いて、非線形誘導極化を三次までの項の和として表現し、それらを周波数領域表現に変換する。
• スローリー・ヴァリィング・スペクトル・アモルチュード近似（SVSA）を適用し、キャリア周波数に対して、場の包絡線の空間的および周波数的変動をゆっくり変化するものとして扱う。
• 空間積分因子（例：$\tilde{\Theta}^{(2)}$, $\tilde{\Theta}^{(3)}$）を導入し、波ガイド内のモード分布に依存する有効な非線形感受率として機能させる。
• SVSAおよび平面波仮定の下で全波動方程式を簡略化することで、バルク材料における平面波伝搬を対象とした1+1次元NWEFを導出する。
• 電場をガイドモード分布に投影し、モード依存の非線形結合項を組み込むことで、波ガイド固有のNWEFを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 包絡線近似に依存せずに、非線形媒体内の完全な電場ダイナミクスを周波数領域でどのように記述できるか？
• RQ2 空間モード分布を考慮し、三次までの非線形性を含む非線形波動方程式の形はどのようなものか？
• RQ3 三波混合、四波混合、ラマン効果が、統一された周波数領域波動方程式内で自然にどのように現れるか？
• RQ4 空間モード分布が、波ガイド構造における有効な非線形感受率をどのように規定するか？
• RQ5 スローリー・ヴァリィング・スペクトル・アモルチュード近似を一貫して適用し、周波数領域における一般化された非線形波動方程式を導出できるか？

主な発見

• 導出された1+1次元NWEFは、周波数領域に直接三次までの誘導極化を組み込むことで、非線形バルク材料における平面波伝搬を正確にモデル化している。
• 波ガイド構造では、モード固有の非線形結合係数（$\bar{\Theta}^{(2)}$, $\bar{\Theta}^{(3)}$）がモード分布の空間積分から導出され、NWEFに表現されている。
• 二次非線形項は $\varepsilon_0 \sum_{\alpha_1\alpha_2} \bar{\Theta}_{j;\alpha_1\alpha_2}^{(2)} F[A_{\alpha_1}^\varphi A_{\alpha_2}^\varphi]$ として表現され、周波数合成および周波数差合成を捉えている。
• 三次非線形項には即時的およびラマン的寄与が含まれており、$\bar{\Theta}_{j;\alpha_1\alpha_2\alpha_3}^{(3)} \left[ (1-f_R) F[A_{\alpha_1}^\varphi A_{\alpha_2}^\varphi A_{\alpha_3}^\varphi] + f_R F[A_{\alpha_3}^\varphi F^{-1}[\tilde{h}_R F[A_{\alpha_1}^\varphi A_{\alpha_2}^\varphi]]] \right]$ として記述され、ラマン効果のモデル化が可能である。
• 有効な非線形感受率項（$\tilde{\Theta}^{(2)}$, $\tilde{\Theta}^{(3)}$）は、スローリー・ヴァリィング・モード分布近似（SVMDA）の下で概ね定数とみなせることを示しており、数値的実装を簡素化している。
• 最終的な波ガイドNWEF（式39）は、伝搬方向における場の進化と非線形結合項を明示的に結びつけており、統合フォトニクス素子における複雑な非線形光現象のシミュレーションを可能としている。