[論文レビュー] Generalized PDE estimates for KPZ equations through Hamilton-Jacobi-Bellman formalism

Jérémie Unterberger|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン形式を用いて、多項式的成長を示す沈着率を有するKPZ方程式に対して一般化されたPDE推定を確立する。解を最小化問題として表現することで、重み付き${\cal W}$-空間における局所的かつ点ごとの推定を導出し、コール・ホプフ変換が不成立となる場合でさえも、グローバルな存在性と一意性を保証する。

ABSTRACT

We study in this series of articles the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation $$ \partial_t h(t,x)=νΔh(t,x)+λV(| abla h(t,x)|) +\sqrt{D}\, η(t,x), \qquad x\in{\mathbb{R}}^d $$ in $d\ge 1$ dimensions. The forcing term $η$ in the right-hand side is a regularized white noise. The deposition rate $V$ is assumed to be isotropic and convex. Assuming $V(0)\ge 0$, one finds $V(| abla h|)\ltimes | abla h|^2$ for small gradients, yielding the equation which is most commonly used in the literature. The present article, a continuation of [24], is dedicated to a generalization of the PDE estimates obtained in the previous article to the case of a deposition rate $V$ with polynomial growth of arbitrary order at infinity, for which in general the Cole-Hopf transformation does not allow any more a comparison to the heat equation. The main tool here instead is the representation of $h$ as the solution of some minimization problem through the Hamilton-Jacobi-Bellman formalism. This sole representation turns out to be powerful enough to produce local or pointwise estimates in ${\cal W}$-spaces of functions with "locally bounded averages", as in [24], implying in particular global existence and uniqueness of solutions.

研究の動機と目的

• KPZ方程式のPDE推定を、コール・ホプフ変換が適用できない二次関数的でない場合にまで拡張すること。
• 無限遠における沈着率$V$の多項式的成長が、熱方程式との標準的比較法を無効にすることに起因する課題に対処すること。
• 特に確率的かつ空間並進不変な外力が作用する非有界領域における解の解析のための堅牢な枠組みを構築すること。
• 局所的平均が有界である重み付き関数空間${\cal W}_{j}^{1,\infty;\lambda}$における解の存在性と一意性を確立すること。
• 先行研究の関数解析的枠組みを、高階導関数および非二次非線形項を扱えるように一般化すること。

提案手法

• 沈着率$V$が凸かつ等方的であり、線形減衰$-\varepsilon h$を有する、粘性付きハミルトニアン・ジャコビ方程式としてKPZ方程式を定式化する。
• 解$h$を確率的制御問題の価値関数として表現するハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン形式を適用し、経路に沿った最小化を可能にする。
• 空間における局所的正則性および成長挙動を捉えるために、重み付き局所準ノルム$|||\cdot|||_{{\cal W}_{j}^{1,\infty;\lambda}}(x)$を定義する。
• 部分積分および球座標における確率的モーメント推定を用いて、確率変数$X$に対する$u(X)$の期待値を評価し、尾部確率の減衰を活用する。
• 導関数の高階まで$\leq d+1$の成長を制御することで、時間依存${\cal W}$-空間における事前推定を導出する。シューディンガー型推定を用いる。
• 高階導関数の取り扱いや正則性制御の向上を目的として、修正された空間${\widetilde{\cal W}}_{j,\text{point}}^{d+1,\infty;P_{\pm}}$を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 沈着率$V$が任意の次数の多項式的成長を示す場合に、KPZ方程式に対して一般化されたPDE推定を確立できるか。
• RQ2 非二次非線形性のためコール・ホプフ変換が不成立となる場合に、解のグローバル存在性と一意性をどのように保証できるか。
• RQ3 凸性や有界性の仮定が欠如する状況において、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン形式は、古典的比較原理をどの程度代替できるか。
• RQ4 非有界かつ確率的外力が作用する状況下で、解の局所的正則性および成長を捉えるのに適した関数空間は何か。
• RQ5 初期データおよび外力の導関数の局所的上界のみを用いて、$|\nabla^\kappa h|$の点ごとの推定を導出できるか。

主な発見

• KPZ方程式の解$h$は確率的制御問題の価値関数として表現され、これによりハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン形式を用いた局所的推定が導出可能である。
• 多項式的成長を示す$V$に対して、ややきつい正則性および成長条件のもとで、空間${\cal W}_{j}^{1,\infty;\lambda}([0,T])$における解のグローバル存在性と一意性が得られる。
• 重み付き${\cal W}$-空間における事前推定が確立される：$|||h_t|||_{{\cal W}_{j,\text{point}}^{1,\infty;P_-}}(x) \lesssim e^{-2^{-j}t}|||h_0|||_{{\cal W}_{j,\text{point}}^{d+1,\infty;P_-}}(x) + |||g|||_{\widetilde{\cal W}_{j,\text{point}}^{d+1,\infty;P_{\pm}}}([0,t])$。
• 指数関数的ケース（$P_+(z) = e^{\lambda z}$）では、$P_-(z) = e^{c\lambda z}$における$ c $が十分に小さい場合に、減衰制御が保証される。
• 多項式的ケース（$P_\pm(z) = z^{d_\pm}$）では、$d_+ - d_-$が十分に大きく、時間指数$ d' $が十分に大きい場合に推定が成立する。
• シューディンガー推定により、$|\kappa| \leq d+1$の高階導関数$|\nabla^\kappa h|$の制御が可能となり、解の正則性がデータの滑らかさに比例して向上することが示唆される。