[論文レビュー] Generalized Petersen Graphs and Kronecker Covers

Matjaž Krnc, Tomaž Pisanski|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Finite Group Theory Research被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一般化されたペテルセングラフ G(n,k) がクロンケル被覆（K₂とのテンソル積による双対被覆）であるためのパラメータ n と k に対する正確な条件を同定することで、どの G(n,k) がクロンケル被覆であるかを特徴づけている。G(10,3) は、ペテルセングラフと H という非同型な2つのグラフのクローンケル被覆である唯一のグラフであることが示され、他のすべてのグラフは、単一の商グラフのクローンケル被覆であるか、まったくクローンケル被覆でない。商グラフの構造は、LCF表記を用いて完全に記述されている。

ABSTRACT

Abstract: The family of generalised Petersen graphs G (n, k), introduced by Coxeter et al. [4] and named by Watkins (1969), is a family of cubic graphs formed by connecting the vertices of a regular polygon to the corresponding vertices of a star polygon. The Kronecker cover KC (G) of a simple undirected graph G is a special type of bipartite covering graph of G, isomorphic to the direct (tensor) product of G and K2. We characterize all generalised Petersen graphs that are Kronecker covers, and describe the structure of their respective quotients. We observe that some of such quotients are again generalised Petersen graphs, and describe all such pairs. The results of this paper have been presented at EUROCOMB 2019 and an extended abstract has been published elsewhere.

研究の動機と目的

• 一般化されたペテルセングラフ G(n,k) がどのグラフのクローンケル被覆であるかを特定すること。
• G(n,k) がクローンケル被覆である場合に得られる商グラフの構造を特徴づけること。
• 一般化されたペテルセングラフが、2つ以上の非同型なグラフのクローンケル被覆である可能性があるかを同定すること。
• LCF表記を用いて商グラフを記述し、n と k の偶奇および合同条件に基づいて分類すること。
• G(10,3) を除き、各クローンケル被覆に対して商グラフが一意に定まることを確立すること。

提案手法

• クローンケル被覆の構成を、G × K₂ としてのテンソル積として定義し、頂点数を2倍にする双対被覆を構築する。
• Imrich と Pisanski (2007) の特徴づけを適用し、双対グラフがクローンケル被覆であるための必要十分条件は、その自己同型群が固定点のない色反転型対合（クローンケル対合）を持つことである。
• G(n,k) の自己同型構造を解析し、このような対合が存在する条件を特定する。特に、n ≡ 0 または 2 (mod 4) かつ k が奇数の場合に注目する。
• 3次ハミルトングラフの LCF表記を定義し、対合構造から導かれる C⁺(n,k) および C⁻(n,k) というグラフ族を用いて、商グラフを表現する。
• 加法群構造と GCD を用いた軌道数え上げを用いて、クローンケル対合の同値類を解析し、商グラフの一意性を証明する。
• k mod 4（k ≡ 1 または 3 mod 4）に基づくケース解析を用い、条件 k² ≡ 1 mod n および n が (k²−1)/2 を割り切る場合に、C⁺(n,k) と C⁻(n,k) の商グラフ族を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのパラメータ (n,k) に対して一般化されたペテルセングラフ G(n,k) が何らかのグラフのクローンケル被覆であるか？
• RQ2 一般化されたペテルセングラフが、2つ以上の非同型なグラフのクローンケル被覆である可能性があるか？
• RQ3 G(n,k) がクローンケル被覆である場合、その商グラフの構造はどのようなものか？
• RQ4 n と k に対してどのような条件下で、商グラフ自身が一般化されたペテルセングラフであるか？
• RQ5 各クローンケル被覆に対して商グラフは一意か、それとも複数の非同値対合が同型な商グラフを生成するか？

主な発見

• G(10,3) は、ペテルセングラフと H という非同型な2つのグラフのクローンケル被覆である唯一の一般化されたペテルセングラフである。
• n ≡ 2 (mod 4) かつ k が奇数のとき、G(n,k) はクローンケル被覆である。この場合、4k < n ならば商は G(n/2, k) であり、n < 4k < 2n ならば G(n/2, n/2 − k) である。
• n ≡ 0 (mod 4) かつ k が奇数のとき、G(n,k) はクローンケル被覆であるための必要十分条件は、n が (k²−1)/2 を割り切ること、または (n,k) = (8,3) であることである。商は、k ≡ 1 (mod 4) ならば C⁺(n,k)、k ≡ 3 (mod 4) ならば C⁻(n,k) である。
• その他のすべてのケース（例：n が偶数かつ k が偶数、または n が奇数）では、G(n,k) はクローンケル被覆でない。
• すべてのクローンケル被覆に対して、商グラフは一意に定まるが、G(10,3) を除いてはそうである。G(10,3) は2つの異なる商グラフを持つ。
• KC(G(n,k)) が一般化されたペテルセングラフであるための必要十分条件は、n が奇数であることである。これは、n が偶数のとき、クローンケル被覆が一般化されたペテルセングラフでないことを意味する。