[論文レビュー] Generalized phase retrieval : measurement number, matrix recovery and beyond

Yang Wang, Zhiqiang Xu|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、二次測定値 $\mathbf{x}^*A_j\mathbf{x}$ からユニモジュラー定数を除いてベクトルを再構成する一般化された位相再構成フレームワークを導入し、標準的位相再構成と射影による位相再構成を統一する。一般に有効な行列に対して、必要な最小測定数のタイトな境界を確立し、実数の場合に $N \geq 2d-1$、複素数の場合に $N \geq 4d-4$ を示す。代数幾何学および位相埋め込み理論を用いて、特定の次元における正確な値を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we develop a framework of generalized phase retrieval in which one aims to reconstruct a vector ${\mathbf x}$ in ${\mathbb R}^d$ or ${\mathbb C}^d$ through quadratic samples ${\mathbf x}^*A_1{\mathbf x}, \dots, {\mathbf x}^*A_N{\mathbf x}$. The generalized phase retrieval includes as special cases the standard phase retrieval as well as the phase retrieval by orthogonal projections. We first explore the connections among generalized phase retrieval, low-rank matrix recovery and nonsingular bilinear form. Motivated by the connections, we present results on the minimal measurement number needed for recovering a matrix that lies in a set $W\in {\mathbb C}^{d imes d}$. Applying the results to phase retrieval, we show that generic $d imes d$ matrices $A_1,\ldots, A_N$ have the phase retrieval property if $N\geq 2d-1$ in the real case and $N \geq 4d-4$ in the complex case for very general classes of $A_1,\ldots,A_N$, e.g. matrices with prescribed ranks or orthogonal projections. Our method also leads to a novel proof for the classical Stiefel-Hopf condition on nonsingular bilinear form. We also give lower bounds on the minimal measurement number required for generalized phase retrieval. For several classes of dimensions $d$ we obtain the precise values of the minimal measurement number. Our work unifies and enhances results from the standard phase retrieval, phase retrieval by projections and low-rank matrix recovery.

研究の動機と目的

• 一般化された位相再構成の統一的枠組みを構築し、標準的位相再構成および直交射影による位相再構成を拡張すること。
• ユニモジュラー定数を除いて $\mathbf{x} \in \mathbb{F}^d$ を一意に回復するための最小測定数 $N$ を、二次測定値 $\mathbf{x}^*A_j\mathbf{x}$ から特定すること。
• 一般化された位相再構成を低ランク行列回復および非特異的双一次形式と結びつけ、代数幾何学および位相埋め込み理論を活用すること。
• 特定の次元、特に $d = 2^k+1$、$d = 2^k+2$、およびその他の構造的ケースに対して、最小測定数 $\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}(d)$ の正確な値を導出すること。
• 一般化された位相再構成の枠組みと位相埋め込みを用いて、古典的なステイフェル＝ホプフ条件の新しい証明を提供すること。

提案手法

• 一般化された位相再構成を、$A_j \in \mathbf{H}_d(\mathbb{F})$ である写像 $\mathbf{M}_{\mathcal{A}}: \underline{\mathbb{F}^d} \to \mathbb{R}^N$ として形式化し、$\mathbf{M}_{\mathcal{A}}(\underline{\mathbf{x}}) = (\mathbf{x}^*A_1\mathbf{x}, \dots, \mathbf{x}^*A_N\mathbf{x})$ と定義する。
• ヤコビアン基準（定理 2.2）を用いて位相再構成を特徴付ける：$\mathcal{A}$ が位相再構成性を持つのは、$\mathbb{F}^d \setminus \{0\}$ 上で $\mathbf{M}_{\mathcal{A}}$ の実ヤコビアンがフルランク $2d-1$（実数の場合）または $4d-4$（複素数の場合）であるときである。
• 代数幾何学および位相埋め込みの結果、特に $\mathbb{P}(\mathbb{C}^d)$ が $\mathbb{R}^{4(d-1)-2\alpha+\epsilon_\alpha}$ に埋め込めないことを利用して、$N$ の下界を導出する。
• 測定写像 $\mathbf{M}_{\mathcal{A}}$ を通じて、$\mathbb{P}(\mathbb{C}^d) \to \mathbb{S}^{N-1}(\mathbb{R})$ の位相埋め込み $\psi$ を構成し、滑らかな埋め込み定理を用いて $N$ の必要条件を導出する。
• 非特異的双一次形式に関するステイフェル＝ホプフ条件を、下界を導出する主要な道具として用い、$N \geq 4d-4$ の等号が特定の $d$ で成立することを示す。
• 解空間 $\{Q \in \mathbb{C}^{d \times d} : \operatorname{Tr}(A_j Q) = 0 \text{ for all } j\}$ の構造を解析し、$d=2$ を含む小さな $d$ に対して位相再構成の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された位相再構成フレームワークにおいて、ユニモジュラー定数を除いて $\mathbf{x} \in \mathbb{F}^d$ を一意に回復するための最小二次測定数 $N$ は何か？
• RQ2 一般化された位相再構成フレームワークは、標準的位相再構成、射影による位相再構成、および低ランク行列回復をどのように統一するか？
• RQ3 特定の次元 $d = 2^k+1$、$d = 2^k+2$、およびその他の構造的形態に対して、最小測定数 $\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}(d)$ の正確な値は何か？
• RQ4 非特異的双一次形式に関する古典的ステイフェル＝ホプフ条件は、一般化された位相再構成フレームワークの結果として導出可能か？
• RQ5 測定数 $N$ のタイトな下界を導出するために、どのような位相的および代数的幾何学的道具が利用可能か？

主な発見

• 一般に有効な $d \times d$ 行列 $A_1, \dots, A_N$ に対して、実数の場合に $N \geq 2d-1$、複素数の場合に $N \geq 4d-4$ であれば、位相再構成性が成立する。これは、所定のランクを持つ行列や直交射影に対しても成り立つ。
• 最小測定数 $\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}(d)$ は、$d = 2^k + 1$（$k > 1$）のとき $4d-4$ に正確に等しく、$d = 2^k + 2$（$k > 1$）のとき $4d-6$、$d = 2^k + 2^j + 1$（$k > j > 1$）のとき $4d-5$、$d = 2^k + 2^j + 2^l + 1$（$k > j > l > 1$）のとき $4d-6$ に等しい。
• $d = 2$ の場合、最小測定数は $\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}(2) = 3$ であり、標準的位相再構成の境界 $4d - 4 = 4$ よりも厳密に小さい。これは、一般化された位相再構成における重要な相違を示している。
• 本稿は、一般化された位相再構成の枠組みと位相埋め込みを用いて、非特異的双一次形式に関する古典的ステイフェル＝ホプフ条件の新しい証明を提供する。
• $\mathbb{P}(\mathbb{C}^d)$ が $\mathbb{R}^{4(d-1)-2\alpha+\epsilon_\alpha}$ に埋め込めないことから、下界 $\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}(d) \geq 4d - 2 - 2\alpha + \epsilon_\alpha$ を導出し、$d$ の特定の算術的条件を満たす場合に等号が成立することを示す。
• 本研究は、標準的位相再構成、射影による位相再構成、および低ランク行列回復の先行研究を統合し、より強い境界を提供する共通の理論的基盤を提供する。