[論文レビュー] Generalized plane wave manifolds

Peter Gilkey, Stana Nikčević|ArXiv.org|May 12, 2005

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、擬リーマン幾何における一般化平面波多様体を調査し、それらが完備であり、強く測地的凸性を示し、冪零なホロノミーを持つことを示している。すべてのウェイリースカラー不変量が消えることが確立され、ウェイリータイプでない新しい等長不変量が構成され、任意のkに対して局所同相でないがk-曲率同調的であるような多様体が存在することを示している。

ABSTRACT

We show that generalized plane wave manifolds are complete, strongly geodesically convex, Osserman, Szabo, and Ivanov-Petrova. We show their holonomy groups are nilpotent and that all the local Weyl scalar invariants of these manifolds vanish. We construct isometry invariants on certain families of these manifolds which are not of Weyl type. Given k, we exhibit manifolds of this type which are k-curvature homogeneous but not locally homogeneous. We also construct a manifold which is weakly 1-curvature homogeneous but not 1-curvature homogeneous.

研究の動機と目的

• 一般化平面波多様体の幾何的および曲率的性質を、擬リーマン幾何において分析すること。
• これらの多様体に対して完備性、強く測地的凸性、および冪零なホロノミーを確立すること。
• すべてのウェイリースカラー不変量が消えることの調査と、ウェイリータイプ外の等長不変量の構成。
• 任意のkに対して局所同相でないがk-曲率同調的である多様体の存在を示すこと。
• 1-曲率同調的ではあるが弱く1-曲率同調的であるが1-曲率同調的でない多様体の例を構成すること。

提案手法

• 座標に関する多項式的または解析的依存性を示す特定の擬リーマン計量を用いて、一般化平面波多様体を構成する。
• リーマン接続および共変微分を用いて、曲率テンソルおよびその高階導関数を計算する。
• 曲率テンソルを計量テンソルと完全に縮約することでスカラー不変量を定義し、それらの消えること（VSI性質）を証明する。
• 生成関数の高階導関数から得られる、α^{5}_{2p+6,k}(f,P)およびα^{6}_{3s}(F,P)のような新しい等長不変量を導入する。
• GilkeyおよびNikčevićの曲率同調および曲率ジェット代数の同型型に関する結果を応用する。
• 曲率ジェット同型写像と新しい不変量の等価性を分析し、それらが等長型分類における役割を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化平面波多様体は完備であり、強く測地的凸性を示すか？
• RQ2 一般化平面波多様体ではすべてのウェイリースカラー不変量が消えるのか？ これは曲率構造にどのような意味を持つのか？
• RQ3 これらの多様体に対して、ウェイリータイプでない等長不変量を構成できるか？ それらは等長型をどのように区別するか？
• RQ4 任意のkに対して、一般化平面波多様体が局所同相でないがk-曲率同調的であることは可能か？
• RQ5 弱く1-曲率同調的だが1-曲率同調的でない多様体は存在するか？

主な発見

• 一般化平面波多様体は完備であり、強く測地的凸性を示しており、指数写像が全空間微分同相写像であることを示唆している。
• すべてのウェイリースカラー不変量が恒等的に消えることから、これらの多様体がVSI（スカラー不変量が消える）であり、曲率の高次の退化性を示している。
• これらの多様体のホロノミー群は冪零であるため、曲率の制限された構造的挙動を示している。
• ウェイリータイプでないが等長写像で不変である新しい等長不変量α^{5}_{2p+6,k}(f,P)およびα^{6}_{3s}(F,P)が構成された。
• 任意のkに対して、局所同相でないがk-曲率同調的である一般化平面波多様体が存在することを示し、曲率同調の階層が厳密であることを示している。
• 弱く1-曲率同調的だが1-曲率同調的でない多様体が存在することを示し、弱いと強い曲率同調性の違いが非自明であることを示している。