[論文レビュー] Generalized projections on general Banach spaces

Akhtar A. Khan, Jinlu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2022

Fixed Point Theorems Analysis被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一様凸空間や滑らか空間とは限らない一般のバナッハ空間において、一般化投影および一般化距離投影という2つの一般化された投影概念を導入し、分析している。変分原理、単調性、構造的性質を確立し、これらの投影を用いて弱収縮性および厳密凸性を特徴づけ、ヒルバート空間以外の理論における重要な空白を埋めている。

ABSTRACT

In general Banach spaces, the metric projection map lacks the powerful properties it enjoys in Hilbert spaces. There are a few generalized projections that have been proposed in order to resolve many of the deficiencies of the metric projection. However, such notions are predominantly studied in Banach spaces with rich topological structures, such as uniformly convex Banach spaces. In this paper, we investigate two notions of generalized projection in general Banach spaces. Various examples are provided to demonstrate the proposed notions and the loss of structure in the generalized projections after migrating from specially structured Banach spaces to general Banach spaces. Connections between the generalized projection and the metric projection are thoroughly explored.

研究の動機と目的

• 一様凸空間や滑らか空間に限定されない一般のバナッハ空間において、一般化投影理論を拡張すること。
• 任意のバナッハ空間における距離投影および一般化投影に対して、構造的性質や変分的特徴づけが不足している問題を解決すること。
• 原始空間から凸集合への新しい一般化距離投影写像の定義とその研究。
• 一般化投影写像を用いた弱収縮性および厳密凸性の特徴づけ。
• 一般化投影、距離投影、正規化双対写像の間の関係を確立すること。

提案手法

• 原始空間における閉集合（必ずしも凸でない）への一般化投影を、正規化双対写像との双対ペアリングを用いて定義。
• 変分不等式の定式化にインspiredされた、原始空間から閉凸集合への新しい一般化距離投影を提案。
• 双対写像 $ J $ および正規化双対写像を用いて、一般化投影を定義し、その集合値性・単値性・定義不能性を分析。
• すべての $ y \in C $ に対して $ \langle j(x-z), z-y \rangle \geq 0 $ を満たす $ j(x-z) \in J(x-z) $ が存在するという変分原理を適用し、距離投影の存在と関連付ける。
• 双対性およびノルムを達成する汎関数を用いて、一般化投影と距離投影の関係を確立。
• $ \ell_1 $、$ c $、および $ \ell_\infty $ における例を用いて、非弱収縮性・非滑らか空間における一般化投影の構造的差異を説明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様凸性や滑らかさの仮定なしに、一般のバナッハ空間における一般化投影をどのように定義・分析できるか。
• RQ2 任意のバナッハ空間における一般化投影の構造的性質（例：単値性、集合値性、非存在性）は何か。
• RQ3 一般化投影に対して変分原理を確立できるか。また、それは距離投影の存在にとって必要十分であるか。
• RQ4 一般のバナッハ空間において、一般化距離投影は距離投影および正規化双対写像とどのように関係するか。
• RQ5 バナッハ空間の弱収縮性および厳密凸性は、一般化投影の挙動を用いて特徴づけられるか。

主な発見

• 一般のバナッハ空間では、一般化投影は集合値、単値、または定義不能である場合があり、$ \ell_1 $ および $ c $ における例で示された。
• 一般化投影に対して部分的な変分原理が成立する：$ z \in P_C(x) $ であるための必要十分条件は、すべての $ y \in C $ に対して $ \langle j(x-z), z-y \rangle \geq 0 $ を満たす $ j(x-z) \in J(x-z) $ が存在することである。
• 一般化距離投影は単調であることが示された（命題3.9の証明）。これはヒルバート空間の投影に特徴的な重要な性質の拡張である。
• 弱収縮性は、一般化投影写像が双対空間へ全射であることに特徴づけられ、定理2.8で示された。
• 厳密凸性は、一般化同一型点の概念と正規化双対写像 $ J $ の単射性を用いて、本稿の双対性分析で確立された。
• 正規化双対写像の逆写像は一般化距離投影と関連しており、双対性の振る舞いを用いて厳密凸空間を特徴づけることが可能になった。