[論文レビュー] Generalized Quantum Signal Processing

Danial Motlagh, Nathan Wiebe|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一般化量子信号処理（GQSP）を導入する。これは、制限された基底回転に依存する従来の量子信号処理（QSP）を拡張し、一般のSU(2)回転を用いることで、|P| ≤ 1 の制約下でユニタリ多項式の普遍的近似を可能にするフレームワークである。既知のPとQに対しては再帰的な角度算出式を提供し、Pのみが既知の場合に効率的なGPU最適化アルゴリズムを用いて角度を計算する。これにより、1分未満で10⁷を超える次数の多項式を合成可能である。

ABSTRACT

Quantum Signal Processing (QSP) and Quantum Singular Value Transformation (QSVT) currently stand as the most efficient techniques for implementing functions of block encoded matrices, a central task that lies at the heart of most prominent quantum algorithms. However, current QSP approaches face several challenges, such as the restrictions imposed on the family of achievable polynomials and the difficulty of calculating the required phase angles for specific transformations. In this paper, we present a Generalized Quantum Signal Processing (GQSP) approach, employing general SU(2) rotations as our signal processing operators, rather than relying solely on rotations in a single basis. Our approach lifts all practical restrictions on the family of achievable transformations, with the sole remaining condition being that $|P|\leq 1$, a restriction necessary due to the unitary nature of quantum computation. Furthermore, GQSP provides a straightforward recursive formula for determining the rotation angles needed to construct the polynomials in cases where $P$ and $Q$ are known. In cases where only $P$ is known, we provide an efficient optimization algorithm capable of identifying in under a minute of GPU time, a corresponding $Q$ for polynomials of degree on the order of $10^7$. We further illustrate GQSP simplifies QSP-based strategies for Hamiltonian simulation, offer an optimal solution to the $ε$-approximate fractional query problem that requires $O(\frac{1}δ + \log(\large\frac{1}ε))$ queries to perform where $O(1/δ)$ is a proved lower bound, and introduces novel approaches for implementing bosonic operators. Moreover, we propose a novel framework for the implementation of normal matrices, demonstrating its applicability through the development of a new convolution algorithm that runs in $O(d \log{N} + \log^2N)$ 1 and 2-qubit gates for a filter of lengths $d$.

研究の動機と目的

• 従来の量子信号処理（QSP）が特定の偶奇性に制限され、複雑なLCU分解を要することに起因する制限を克服すること。
• QSPベースのアルゴリズムにおけるユニタリの線形結合（LCU）の必要性を排除し、一般化されたSU(2)回転によって任意の多項式近似を可能にすること。
• 従来、複雑で直感的でないとされるQSPにおける位相角の計算を簡素化するために、既知のPとQに対する再帰的公式を導入すること。
• Pのみが既知の場合に位相角を効率的に計算する最適化アルゴリズムを開発し、実用的な時間内で高次多項式の合成を可能にすること。
• QSPを、最適な分数クエリアルゴリズム、量子化による効率的ハミルトニアンシミュレーション、および畳み込み演算用の巡回行列と対角行列の合成へと拡張すること。

提案手法

• QSPの標準的なZ-またはX基底回転に代えて、一般のSU(2)回転を信号処理演算子として用いることで、表現力の向上を図る。
• 回転角度でパrameter化されたSU(2)行列の積として、一般化された信号処理変換を定式化し、ユニタリ行列の任意の多項式関数を実現可能にする。
• 既知の目標多項式Pとその同伴Qに対して、回転角度を計算する再帰的公式を導出することで、多項式合成を簡素化する。
• Pのみが与えられた場合にQと対応する角度を計算するGPU加速最適化アルゴリズムを提案し、10⁷を超える次数の多項式合成を1分未塔で達成する。
• QSPを量子化によるハミルトニアンシミュレーションに応用し、O(1/δ + log(1/ε))のクエリ複雑度でε近似分数クエリ問題の最適な定式化を示した。
• フーリエ対角化後の巡回行列の多項式表現を活用し、1-および2-キュービットゲートをO(d log N + log² N)個で用いることで畳み込み演算を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定基底回転を超えて、|P| ≤ 1 の制約下でユニタリ多項式の普遍的近似を達成できるようにQSPを一般化できるか？
• RQ2 目標多項式Pは既知だがQが未知の場合に、QSPにおける位相角の計算をどのように簡素化できるか？
• RQ3 GQSPは、ハミルトニアンシミュレーションや分数クエリなど、量子アルゴリズムの最適かつ簡素化された実装を可能にするか？
• RQ4 GQSPは、特に対角行列および巡回行列に対して、QSVTを一般行列へと拡張する可能性を有するか？
• RQ5 GQSPは、多変数QSPに適応可能か、あるいは非正方行列のための量子特異値変換へと拡張可能か？

主な発見

• GQSPは、|P| ≤ 1 の制約下で、ユニタリ行列の任意の多項式関数の普遍的近似を可能にし、従来の偶奇性制限や分解の制限を撤廃する。
• 既知のPとQに対する再帰的角度算出式により、望ましい多項式の合成が簡素化され、QSPの利用可能性と計算の実行可能性が向上する。
• GPU最適化アルゴリズムにより、10⁷を超える次数の多項式を1分未塔で角度を計算可能であり、従来の方法（約10⁴次まで）を著しく上回る性能を示す。
• GQSPは、O(1/δ + log(1/ε))のクエリ複雑度でε近似分数クエリ問題の最適解を提供し、理論的下界O(1/δ)と一致する。
• 1-および2-キュービットゲートをO(d log N + log² N)個で用いることで、効率的な畳み込みを実現し、離散畳み込み系をスケーラブルに解けるアプローチを提供する。
• GQSPは、量子化に基づくハミルトニアンシミュレーションの簡素化と最適化された定式化を可能にし、フーリエ基底における多項式分解により、対角行列および巡回行列の直接合成を実現する。