[論文レビュー] Generalized Rédei rational functions and rational approximations over conics

Stefano Barbero, Umberto Cerruti+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2012

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ひとこと要約

本稿は、体 $\field{F}$ 上の $x^2 + hxy - dy^2 = 1$ で定義される円錐曲線に対するレデイ有理関数および群構造を一般化し、商体を用いた群則則とパラメトライゼーションを確立する。一般化されたレデイ多項式を導入し、点乗算を計算する。また、関連パrameterの連分数展開を用いて二次無理数の有理近似を導出し、$\beta = \tau$ の場合にピタゴラス数を含む円錐曲線上の新たな収束列を得る。

ABSTRACT

In this paper we study a general class of conics starting from a quotient field. We give a group structure over these conics generalizing the construction of a group over the Pell hyperbola. Furthermore, we generalize the definition of Rédei rational functions in order to use them for evaluating powers of points over these conics. Finally, we study rational approximations of irrational numbers over conics, obtaining a new result for the approximation of quadratic irrationalities.

研究の動機と目的

• ピアル双曲線を超えて、楕円および放物線を含む任意の円錐曲線 $x^2 + hxy - dy^2 = 1$ に対して、商体構成を用いて群構造を一般化すること。
• 点のべき乗計算を効率的に行うために、$E_{\field{F}}(h,d)$ というより広いクラスの円錐曲線に対するレデイ有理関数を拡張すること。
• 連分数の収束項を円錐曲線上の点に写像することにより、無理数の有理近似を確立する手法を開発すること。
• 円錐曲線のパラメトライゼーションから得られるピタゴラス数を用いて、$\tau$ を含む二次無理数の有理近似の構成を示すこと。

提案手法

• 不可約な $x^2 - hx - d$ に対して、商体 $\field{A} = \field{F}[x]/(x^2 - hx - d)$ を構成し、ノルム、トレース、共役作用を定義する。
• 単位群 $U = \{a + bx \in \field{A}^* : N(a + bx) = 1\}$ を定義し、これにより円錐曲線 $E_{\field{F}}(h,d)$ と双対的対応づけられ、群則則 $\odot_E$ を誘導する。
• 行列 $M = \begin{pmatrix} z+h & d \\ 1 & z \end{pmatrix}$ のべき乗から得られる再帰列 $N_n(h,d,z)$ と $D_n(h,d,z)$ を用いて、一般化されたレデイ有理関数を定義し、円錐曲線上の点乗算を効率的に計算可能にする。
• パラメトライゼーション $\epsilon: m \mapsto \left( \frac{m^2 + d}{m^2 + hm - d}, \frac{2m + h}{m^2 + hm - d} \right)$ を用い、$\field{F} \cup \{\alpha\}$ を $E_{\field{F}}(h,d)$ に写像し、$\alpha$ を単位元とする。
• 補助的な無理数 $\alpha$ に対して $\frac{g(\alpha)}{f(\alpha)} = \beta$ を満たす連分数収束項 $p_n/q_n$ を、円錐曲線上の点 $(x_n, y_n) = (f(p_n/q_n), g(p_n/q_n))$ に写像する。
• 商群 $\field{A}^*/\field{F}^*$ とパラメトライズド群 $(P, \odot_P)$ の間に同型写像を確立し、$a + b \neq -h$ のとき $a \odot_P b = \frac{d + ab}{h + a + b}$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体 $\field{F}$ 上の任意の円錐曲線 $x^2 + hxy - dy^2 = 1$ に対して、ピアル双曲線から一般化された群構造をどのように構築できるか？
• RQ2 再帰列を用いて、一般化された円錐曲線上の点のべき乗を計算するレデイ有理関数を拡張できるか？
• RQ3 補助的パrameterの連分数展開と、円錐曲線上の無理数の有理近似との関係は何か？
• RQ4 円錐曲線のパラメトライゼーションと収束項を用いて、二次無理数の有理近似を体系的に生成できるか？
• RQ5 この枠組みは、$\pi$ を近似するピタゴラス数の構成にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 商体 $\field{A} = \field{F}[x]/(x^2 - hx - d)$ の単位群との双対性により、円錐曲線 $E_{\field{F}}(h,d)$ 上に群構造が確立され、単位元は $(1,0)$、逆元は $(x,y)^{-1} = (x + hy, -y)$ である。
• 再帰列 $N_n(h,d,z)$ と $D_n(h,d,z)$ を用いて一般化されたレデイ関数が定義され、$E_{\field{F}}(h,d)$ 上の点の $n$ 乗計算が効率的に行える。
• $\field{F} = \mathbb{R}$ の場合、任意の無理数 $\beta$ の有理近似は、方程式 $\frac{2\alpha + h}{\alpha^2 + d} = \beta$ を解くことで得られ、$\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{1 + \beta^2}}{\beta}$ となるが、これは常に無理数である。
• 無理数 $\alpha$ の連分数収束項 $p_n/q_n$ は、円錐曲線 $E_{\field{R}}(h,d)$ 上の点列 $(x_n, y_n)$ を生成し、$\lim_{n \to \infty} y_n / x_n = \beta$ を満たす。
• $h = 0, d = -1$ の場合、円錐曲線は単位円 $x^2 + y^2 = 1$ に変化し、この方法により $\pi$ を近似するピタゴラス数が生成される。収束項としては $24/7 \approx 3.4285$ および $165/52 \approx 3.1730$ が得られる。
• 明示的な例により、$\pi$ は $24/7 \approx 3.4285$、$165/52 \approx 3.1730$、$988/315 \approx 3.1365$、$12648/4025 \approx 3.1423$ と次第に精度を高め、$\pi \approx 3.14159$ に収束することが示された。