[論文レビュー] Generalized Remez Inequality for $(s,p)$-Valent Functions

Yosef Yomdin|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2011

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$(s,p)$-多価関数を導入することで、古典的Remez不等式を複素解析関数へ一般化する。$p$-多価関数を一般化し、次数$s$の多項式$P$に対する$f(x) = P(x)$の解の数を制御する。幾何的不変量$c_d(Z)$および$ρ_d(Z)$を用いて鋭いRemez型不等式を確立し、代数曲線への高次多項式の制限に応用することで、特異点の幾何構造とモノドロミーに依存する局所的および大域的不等式を導出する。

ABSTRACT

The classical Remez inequality bounds the maximum of the absolute value of a polynomial $P(x)$ of degree $d$ on $[-1,1]$ through the maximum of its absolute value on any subset $Z$ of positive measure in $[-1,1]$. It was shown in \cite{Yom3} that the Lebesgue measure in the Remez inequality can be replaced by a certain geometric invariant $ω_d(Z)$ which can be effectively estimated in terms of the metric entropy of $Z$ and which may be nonzero for discrete and even finite sets $Z$. In the present paper we first obtain an essentially sharp Remez-type inequality in the spirit of \cite{Yom3} for complex polynomials of one variable, introducing metric invariants $c_d(Z)$ and $ø_{cd}(Z)$ for an arbitrary subset $Z\subset D_1\subset {\mathbb C}$. These invariants translate into the the metric language the classical Cartan lemma (see \cite{Gor} and references therein). Next we introduce $(s,p)$-valent functions, which provide a natural generalization of $p$-valent ones (see \cite{Hay} and references therein). We prove a "distortion theorem" for such functions, comparing them with polynomials sharing their zeroes. On this base we extend to $(s,p)$-valent functions our polynomial Remez-type inequality. As the main example we consider restrictions $g$ of polynomials of a growing degree to a fixed algebraic curve, for which we obtain an essentially sharp "local" Remez-type inequality, stressing the role of the geometry of singularities of $g$. Finally, we obtain for such functions $g$ a "global" Remez-type inequality which is valid for all the branches of $g$ and involves both the geometry of singularities of $g$ and its monodromy.

研究の動機と目的

• 実多項式からの古典的Remez不等式を、幾何的不変量を用いて複素解析関数へ拡張すること。
• $(s,p)$-多価関数を導入し、研究することで、多項式に対する解析関数の解構造を捉える$p$-多価関数の一般化を実現すること。
• 代数曲線への高次多項式の制限に対して、特異点の幾何構造と特異点からの距離に依存する局所的Remez型不等式を導出すること。
• このような関数のすべての分岐に対して有効な大域的Remez型不等式を確立し、モノドロミーと幾何的配置を組み込むこと。

提案手法

• 部分集合$Z \subset \mathbb{C}$に対して、Cartanの補題を用いてLebesgue測度を一般化する測度的不変量$c_d(Z)$および$ρ_d(Z)$を導入する。
• $(s,p)$-多価関数を、任意の次数$s$の多項式$P$に対して、領域内で$f(x) = P(x)$が高々$p$個の解を持つ関数として定義する。
• 零点が同一である多項式と$(s,p)$-多価関数を比較する歪み定理を証明し、Remez型境界の拡張を可能にする。
• 代数曲線$y = h(x)$への多項式の制限$g(x) = P(x, h(x))$にフレームワークを適用し、非特異点近傍での局所的挙動を分析する。
• 複素数平面$\mathbb{C} \setminus \Sigma$内のディスクを連結させることで大域的不等式を構築し、半径および不変量$c_j = c_{d_1}(D_{j,1} \cap D_j')$を用いて分岐間の成長を制限する。
• 定数$K(S)$を、すべてのディスクの鎖に対して、$\sigma(R_j, R_{j1}, R_j')$および$c_j^{-1}$を含む積の下界として定義し、大域的モノドロミーと幾何的制約を捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lebesgue測度の代わりに幾何的不変量を用いることで、古典的Remez不等式を複素解析関数へ一般化できるか？
• RQ2 有界次数の多項式に対する解析関数の解構造を捉えるために、$p$-多価関数の適切な一般化は何か？
• RQ3 高次多項式の代数曲線への制限に対して、Remez型不等式をどのように拡張できるか。そして、このような境界の鋭さを制御する幾何的データは何か？
• RQ4 多価解析関数の大域的Remez型不等式を構築する際に、モノドロミーは果たす役割は何か？

主な発見

• 幾何的量$c_d(Z)$を用いて、複素多項式に対する鋭いRemez型不等式を確立し、離散集合に対しても計算可能な量にLebesgue測度を置き換えた。
• 本稿では、$p$-多価関数の自然な一般化として$(s,p)$-多価関数を導入し、$p$-多価関数は$s=0$に対応する。
• 多項式の代数曲線への制限$g(x) = P(x, h(x))$に対して、曲線の次数、$P$の次数、および最近傍特異点までの距離に依存する局所的Remez不等式が成立する。
• すべての分岐に対して、定数$K(S)$がモノドロミー群$G$、$Z$の配置、および$Z$から評価点$x_0$へ至るディスクの鎖に依存する大域的Remez不等式が導出された。
• 定数$K(S)$は、すべてのディスクの鎖に対して、$\sigma$-関数と$c_j^{-1}$を含む積の下界として定義され、解析接続および分岐間の成長を制御する。
• 不等式(5.4)は明示的に、集合$Z$、領域$D_0$のサイズ、および$x_0$、$\Sigma$、モノドロミーを含む大域的配置の寄与を分離している。