[論文レビュー] Generalized Schrodinger equation for free field

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2006

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、Fock空間や正規順序付けを避けるために、観測量のWeyl代数において定式化された一般化されたシュレーディンガー方程式を用いて、自由スカラー場の数学的に厳密で自己稠密な量子化手順を提示する。このアプローチにより、無限大の補正項を伴わずに標準的なフェ Feynman propagator およびグリーン関数が得られ、任意の空間的超曲面上での一貫性ある量子化の基礎が提供され、相互作用場に対する変形量子化への道筋が示唆される。

ABSTRACT

We give a logically and mathematically self-consistent procedure of quantization of free scalar field, including quantization on space-like surfaces. A short discussion of possible generalization to interacting fields is added.

研究の動機と目的

• 標準的な Fock空間アプローチにおける発散と正規順序付けの問題を解決し、自由スカラー場の論理的かつ数学的に自己稠密な量子化を提供すること。
• 任意の空間的超曲面上で有効な一般化されたシュレーディンガー方程式を定式化し、標準的な時間発展方程式を一般化すること。
• 自由量子場の力学が、状態関数のシュレーディンガー表現よりも、観測量の代数を介して記述されるハイゼンベルク表現によってより適切に記述されることを示すこと。
• この形式を相互作用場へと拡張するための基盤を築くこと。変形量子化を用いた位相空間代数の形式的展開を想定する。
• トモナガ＝シュヴィンガー方程式および曲がった空間的超曲面上での相対論的場の量子化に対する、数学的基礎の欠如を解消すること。

提案手法

• 場を空間的超曲面上の汎関数とみなして、場理論における変分原理から一般化されたシュレーディンガー方程式を導出する。
• ヒルベルト空間の状態関数の代わりに、観測量のWeyl代数を用い、無限大の真空エネルギーによる発散を回避する。
• Moyal積を用いて、場および運動量変数の汎関数上に非可換代数的構造を定義し、一貫性のある時間発展を可能にする。
• 源を持つ自由場に対して一般化されたシュレーディンガー方程式を解き、フェ Feynman propagator を時間順序付き積の真空期待値として得る。
• 位相空間上にWeyl代数のバンドルを用いた、相互作用場に対する変形量子化のアプローチを提案。アーベル接続およびハミルトニアンの流れを用いる。
• Fedosovの手法を用いて、汎関数のポisson代数の形式的変形を構成し、再正規化されたハミルトニアンを含む簡略化された発展方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fock空間や正規順序付けに依存せずに、自由スカラー場の標準的シュレーディンガー方程式を数学的に厳密に定義することは可能か？
• RQ2 任意の空間的超曲面（曲がったものも含む）上で、一貫性を持って場の力学を記述できる一般化されたシュレーディンガー方程式を定式化できるか？
• RQ3 なぜ自由場に対して、状態関数のシュレーディンガー表現よりも、観測量の代数を介したハイゼンベルク表現が数学的に一貫性があるのか？
• RQ4 Weyl代数の形式を最初から用いることで、摂動的量子場理論で生じる発散を体系的に回避できるか？
• RQ5 古典的位相空間の変形量子化を用いて、この厳密な枠組みを相互作用場へと拡張することは可能か？

主な発見

• Weyl代数の枠組みにおける一般化されたシュレーディンガー方程式は、正規順序付けや無限大定数の減算を必要とせず、自由スカラー場の標準的フェ Feynman propagator を得る。
• 場演算子の時間順序付き積の真空期待値は、$ Z(j) = \exp\left(-\frac{i}{2h}\int \frac{\hat{j}(p)\hat{j}(-p)}{p^2 - m^2 + i\varepsilon} dp \right) $ という式によって、グリーン関数の生成関数を再現する。
• 標準的な Fock空間構成は、ハミルトニアンの行列要素が発散するため、シュレーディンガー表現においてハミルトニアンの数学的に一貫した表現を提供できない。
• ハイゼンベルク表現、特に Weyl代数に基づくものこそ、自由量子場の一致した力学を記述するための唯一の実行可能な枠組みである。シュレーディンガー表現は、定義されない関数の汎関数を生じさせる。
• 相互作用場に対しては、位相空間上にWeyl代数のバンドルを用いたFedosovの手法による変形量子化が、形式的ではあるが一貫した枠組みを提供すると示唆されるが、再正規化は未解決の課題のままである。
• 簡略化された発展方程式 $ ih\frac{\partial\Phi}{\partial t} = [H + \mathcal{H}_1, \Phi] $ が、再正規化された力学の候補として提案されるが、有限の結果を明示的に計算することは未解決のままである。