[論文レビュー] Generalized "second Ritt theorem" and explicit solution of the polynomial moment problem

Fedor Pakovich|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2009

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、多項式モーメント問題に対する明示的・構成的解法を提供する。Rittの第二定理を一般化することで、関数方程式 $ P = P_1 \circ W_1 = \cdots = P_r \circ W_r $ のすべての多項式的解を記述し、$ \int_a^b P^k dQ = 0 $ がすべての $ k \geq 0 $ に対して成り立つ解を、合成分解に由来する可約解の和として完全に特徴付けることを可能にする。主な貢献は、チェビシェフ多項式および偶数次合成構造を用いた、このような解の分類であり、解が3つ未満の成分に還元できない明確な条件を提示する。

ABSTRACT

In the recent paper arXiv:0710.4085 was shown that any solution of "the polynomial moment problem", which asks to describe polynomials Q orthogonal to all powers of a given polynomial P on a segment, may be obtained as a sum of some "reducible" solutions related to different decompositions of P into a composition of two polynomials of lesser degrees. However, the methods of arXiv:0710.4085 do not permit to estimate the number of necessary reducible solutions or to describe them explicitly. In this paper we provide a description of the polynomial solutions of the functional equation P=P_1(W_1)=P_2(W_2)=...=P_r(W_r), and on this base describe solutions of the polynomial moment problem in an explicit form suitable for applications. With respect to the previous version a more general form of the generalized "secon Ritt theorem" is proved and the proof is considerably simplified. Besides, a missed case in Theorem 1.2 was added and the proof is corrected.

研究の動機と目的

• 関数方程式 $ P = P_1 \circ W_1 = \cdots = P_r \circ W_r $ のすべての多項式的解を明示的かつ構成的に記述すること。この方程式は多項式モーメント問題の根幹をなす。
• すべての $ k \geq 0 $ に対して $ \int_a^b P^k dQ = 0 $ を満たす解を、多項式 $ P $ の合成分解に由来する可約解の和として特徴付けるという、未解決の問題を解消すること。
• Rittの第二定理を複数の分解を扱えるように拡張し、3つ未満の可約成分の和として表現できない解を分類すること。
• 多項式モーメント問題の解が、2つの可約解の和として書けないような、本質的な構造的制限を特定すること。

提案手法

• Chebyshev多項式および合成因数分解の性質を用いて、$ \gcd(\deg P_i, \deg P_j) = 1 $ および $ \gcd(\deg W_i, \deg W_j) = 1 $ を満たす複数の多項式的分解 $ P = P_i \circ W_i $ を扱えるようにRittの第二定理を一般化する。
• 合成因数分解に関する補題3.3を適用し、特に次数が偶数または2の倍数である場合に、$ W_i $ および $ P_i $ の構造を分析し、再帰的分解形を導出する。
• 積分が消えるようにするための条件 $ W_i(a) = W_i(b) $ を用い、関数方程式とモーメントの消滅をカウチの定理を通じて結びつける。
• 線形同値性および共役変換技術を用いて、一般解を $ T_n $、$ z^2(z^2-1)^2 $、$ zR(z^2) $ を含む標準形に還元し、分類を可能にする。
• 特に $ P $ が線形同値にチェビシェフ多項式でない場合の、$ P $ の合成右因子の構造を分析し、$ W(a) = W(b) $ を満たす $ W $ を特定する。
• 背理法と次数解析を用いて、$ T_{mn} $ や $ zR(z^2) \circ T_{mn} $ を含む特定の解が、2つの可約解の和として表現できないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式モーメント問題 $ \int_a^b P^k dQ = 0 $ がすべての $ k \geq 0 $ に対して成り立つ解は、すべての $ P $ の合成分解に由来する可約解の和として明示的に記述可能か？
• RQ2 $ P $ および $ Q $ にどのような構造的条件が存在すると、解が2つの可約解の和として表現できなくなるか？
• RQ3 Rittの第二定理は、互いに同値でない複数の分解を扱えるように、どのように一般化可能か？
• RQ4 $ a $ および $ b $ にどのような条件が存在すると、合成因子 $ W_i $ に対して $ W_i(a) = W_i(b) $ が成り立ち、モーメントが消えるか？
• RQ5 $ \gcd(\deg W_1, \deg W_2) = 1 $ を満たす二重分解 $ P = P_1 \circ W_1 = P_2 \circ W_2 $ から生じる解の正確な形は何か？ そして、それらは全解空間にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿では、多項式モーメント問題の任意の解が、$ P $ の異なる合成分解に対応する可約解の和として記述可能であり、チェビシェフ多項式および偶数次有理関数による明示的パrametrizationが与えられることを確立した。
• 定理1.2の第四型解、特に $ T_{mn} $ および $ zR(z^2) \circ T_{mn} $ を含む解は、$ m $ および $ n $ が3より大きい異なる素数であるとき、2つの可約解の和として表現できない。
• $ P = z^2(z^2-1)^2 \circ T_{mn} $ の合成右因子は、$ T_2 $、$ T_m $、$ T_n $、$ T_{2m} $、$ T_{2n} $、$ T_{2mn} $、$ T_{mn} $、または $ zR(z^2) \circ T_{mn} $ に限られ、条件を満たすのは $ T_{2m} $、$ T_{2n} $、$ T_{2mn} $、$ zR(z^2) \circ T_{mn} $ のみである。
• 条件 $ T_{n/2}(a) = -T_{n/2}(b) $ および $ T_{m/2}(a) = -T_{m/2}(b) $ に加え、$ T_{nm/4}(a) = \pm 1 $ が成り立つと、$ R(1) = 0 $ が導かれる。これは解の構造において本質的である。
• $ m,n $ が3より大きい異なる素数であるとき、$ Q = T_{2m} + T_{2n} + zR(z^2) \circ T_{mn} $ は、集合 $ \{T_{2n}, T_{2m}, zR(z^2) \circ T_{mn}\} $ に属する任意の $ W_1, W_2 $ に対して $ Q = V_1 \circ W_1 + V_2 \circ W_2 $ として書けない。これは合成因子構造の不一致に起因する。
• 本稿では、$ P $ が線形同値にチェビシェフ多項式でなく、かつ互いに素な次数を持つ二重分解を有する場合、解空間に3つ未満の和に還元できない本質的に非可約な成分が含まれることを証明した。