[論文レビュー] Generalized selfish bin packing

György Dósa, Leah Epstein|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2012

Game Theory and ApplicationsDecision Sciences参考文献 22被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、アイテムのコストが重みに比例して共有される一般化された自己中心的ビンパッキングゲームを研究し、純粋ナッシュ均衡、強い均衡、パレート最適均衡の性質を分析している。一般の重みに対しては、4つの価格の悪さ（PoA）の値がすべて1.7であることが示され、単位重みの場合にはそれらが1.7未満である——特に強いPoA ≈1.691、厳密パレート最適PoAは顕著に低い——古典的ビンパッキングの挙動とは顕著な相違を示している。

ABSTRACT

Standard bin packing is the problem of partitioning a set of items with positive sizes no larger than 1 into a minimum number of subsets (called bins) each having a total size of at most 1. In bin packing games, an item has a positive weight, and given a valid packing or partition of the items, each item has a cost or a payoff associated with it. We study a class of bin packing games where the payoff of an item is the ratio between its weight and the total weight of items packed with it, that is, the cost sharing is based linearly on the weights of items. We study several types of pure Nash equilibria: standard Nash equilibria, strong equilibria, strictly Pareto optimal equilibria, and weakly Pareto optimal equilibria. We show that any game of this class admits all these types of equilibria. We study the (asymptotic) prices of anarchy and stability (PoA and PoS) of the problem with respect to these four types of equilibria, for the two cases of general weights and of unit weights. We show that while the case of general weights is strongly related to the well-known First Fit algorithm, and all the four PoA values are equal to 1.7, this is not true for unit weights. In particular, we show that all of them are strictly below 1.7, the strong PoA is equal to approximately 1.691 (another well-known number in bin packing) while the strictly Pareto optimal PoA is much lower. We show that all the PoS values are equal to 1, except for those of strong equilibria, which is equal to 1.7 for general weights, and to approximately 1.611824 for unit weights. This last value is not known to be the (asymptotic) approximation ratio of any well-known algorithm for bin packing. Finally, we study convergence to equilibria.

研究の動機と目的

• 比例コスト共有を伴う一般化された自己中心的ビンパッキングゲームにおける、複数の均衡型（ナッシュ、強い、厳密および弱いパレート最適）の存在と性質を分析すること。
• 一般重みおよび単位重みの下で、4つの均衡型における漸近的価格の悪さ（PoA）および価格の安定性（PoS）を計算すること。
• 均衡への収束を検討し、均衡の性能を最適解と比較すること。
• 観察されたPoAおよびPoSの値が、古典的ビンパッキングアルゴリズムの既知の近似比に対応するかどうかを同定すること。

提案手法

• 各アイテムの報酬がその重みをそのビン内総重量で割ったものとして定義し、これにより比例コスト共有が誘発される戦略的ゲームとしてビンパッキングをモデル化する。
• 4つの均衡型を定義・分析する：標準ナッシュ均衡（NE）、強いナッシュ均衡（SNE）、厳密パレート最適NE（SPO-NE）、弱いパレート最適NE（WPO-NE）。
• 潜在関数技法を用いて均衡への収束時間をバウンドし、プロセスの異なる段階に応じて異なる潜在関数を用いる。
• 漸近的近似比分析を適用してPoAおよびPoSを計算し、一般重みと単位重みの両方の結果を比較する。
• 組合せ的議論とケース解析を用いて、収束列におけるステップ数の上界を導出する。
• 既知のビンパッキングの結果（例：First Fitの近似比）を活用し、ゲーム理論的指標を古典的アルゴリズムと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された自己中心的ビンパッキングゲームのすべてのインスタンスが、NE、SNE、SPO-NE、WPO-NEの4つの均衡型を有するか？
• RQ2 一般重みおよび単位重みの下で、4つの均衡型それぞれの漸近的価格の悪さ（PoA）は何か？
• RQ3 単位重みのPoAおよびPoSは一般重みのそれらと比較してどう異なるか。また、これらは既知の古典的アルゴリズムの近似比に対応するか？
• RQ4 単位重みにおける強い価格の安定性（PoS）は、標準的ビンパッキングアルゴリズムのいずれかの既知の近似比に等しいか？
• RQ5 潜在関数法を用いて均衡への収束がバウンド可能か。アルゴリズム設計にどのような含意を持つか？

主な発見

• 一般重みの場合、4つの価格の悪さ（PoA）はすべて1.7に等しく、これはFirst Fitアルゴリズムの既知の漸近的近似比と一致する。
• 単位重みの場合、強いPoAは約1.691であり、これはビンパッキング分野でよく知られた定数であるが、厳密パレート最適PoAは顕著に低い。
• 価格の安定性（PoS）は、強い均衡を除き、すべての均衡型で1である。一般重みではPoS(SNE) = 1.7であり、単位重みではPoS(SNE) ≈ 1.611824である。この値は、既知の標準的アルゴリズムの近似比に対応しないとされている。
• PoSの値は、強い均衡を除きすべて1であり、最適解が安定状態ではしばしば達成可能であることを示している。
• 本稿は、厳密パレート最適均衡が標準ナッシュ均衡よりも顕著に効率的であることを示しており、特に単位重みの場合、SPO-PoAは標準PoAよりも著しく低い。
• 潜在関数解析を用いて、均衡への収束が保証され、かつバウンド可能である。ステップ数は組合せ的総和およびビン構成に関するケース別推論によって導出されている。