[論文レビュー] Generalized staircases: recurrence and symmetry

W. Patrick Hooper, Barak Weiss|ArXiv.org|May 22, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな平行移動表面の$Δ$-被覆を研究し、そのVeech群が第一種のFuchs型であるための条件を確立するとともに、直線的流れの再帰性を特徴づける。再帰性のための必要十分条件をホロノミーがホモロジーで消えることによって与え、 genus 2およびgenus 3の表面の$Δ$-被覆を用いて、無限個の非算術的格子表面および無限生成のVeech群をもつ表面を構成する。

ABSTRACT

We study infinite translation surfaces which are Z-covers of compact translation surfaces. We obtain conditions ensuring that such surfaces have Veech groups which are Fuchsian of the first kind and give a necessary and sufficient condition for recurrence of their straight-line flows. Extending results of Hubert and Schmithusen, we provide examples of infinite non-arithmetic lattice surfaces, as well as surfaces with infinitely generated Veech groups.

研究の動機と目的

• コンパクトな平行移動表面の$Δ$-被覆を体系的に分析し、その力学的性質とVeech群の構造に焦点を当てる。
• ホロノミーが消えるホモロジー類を用いて、その被覆上の直線的流れの再帰性の必要十分条件を確立する。
• 無限個の平行移動表面に関する結果を拡張し、非算術的Veech群および無限生成のVeech群をもつ例を構成する。
• 多ツイスト定理とホロノミー条件を用いて、特に放物型要素に関して、アフィン自己同型の被覆への持ち上げを一般化する。

提案手法

• M^\circ = M \setminus Pの$Δ$-被覆とH_1(M, P; \mathbb{Z})内の射影的類の間の全単射を確立し、被覆をホモロジー類に結びつける。
• Thurstonの基準を用いて、被覆のVeech群が第一種のFuchs型であるための十分条件を導出し、genus 2の表面に適用可能であることを示す。
• 多ツイスト定理を用いて、Veech群のホモロジーへの作用における固定部分空間を分析し、自己同型の被覆への持ち上げを保証する。
• ホロノミーが消える条件f_*(N) = Nを用いて、MのVeech群の放物型要素の再帰的$Δ$-被覆への持ち上げを特徴づける。
• ホロノミーが自明なホモロジー類を用いて、八角形表面およびZ_{3,1}表面の$Δ$-被覆による明示的例を構成する。
• 導出写像D: \mathrm{Aff}(\widetilde{M}, M^\circ) \to \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})を用いて、被覆のVeech群を定義し、分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな平行移動表面の$Δ$-被覆のVeech群が第一種のFuchs型であるための条件は何ですか？
• RQ2 平行移動表面の$Δ$-被覆上で、ほとんどすべての方向において直線的流れが再帰的になるのはいつですか？
• RQ3 基本表面のVeech群に属するどの放物型要素が、再帰的$Δ$-被覆のVeech群に持ち上がるのですか？
• RQ4 Δ-被覆を用いて、非算術的Veech群をもつ無限個の平行移動表面を構成できますか？
• RQ5 Veech群が無限生成である表面のΔ-被覆のVeech群の構造はどのようなものですか？

主な発見

• 対応するホモロジー類がホロノミーをもたないとき、かつそのときに限り$Δ$-被覆は再帰的である。
• 任意のgenus 2の正方形タイル化表面の$Δ$-被覆について、そのVeech群は第一種のFuchs型である。これは以前の結果を拡張する。
• Z_{3,1}^\inftyの$Δ$-被覆のVeech群は、第一種のFuchs型である。これは、基本表面のVeech群が格子でないにもかかわらず成り立つ。
• H_1(O, P; \mathbb{Z})に属するw_1が存在し、対応する$Δ$-被覆のVeech群は無限生成かつ第一種のFuchs型である。
• H_1(O, P; \mathbb{Z})に属するw_2が存在し、対応する$Δ$-被覆のVeech群は、八角形表面の全向き保存Veech群を含む。
• 八角形表面の$Δ$-被覆のVeech群は、すべてのw \in Wに対して第一種のFuchs型である。これは定理16および多ツイスト定理によって保証される。