[論文レビュー] Generalized Stieltjes transforms: basic aspects

Dmitrii Karp, E. G. Prilepkina|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2011

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、任意の正の指数 α > 0 に対する一般化されたスティルチェス変換を導入し、収束条件、逆変換公式、および新しい概念である正確なスティルチェス順序を含む基礎的性質を分析する。分数階積分作用素に対する正確性の基準、十分条件、および逆変換公式を提示し、超幾何関数や連分数への応用を含む。

ABSTRACT

The paper surveys the basic properties of generalized Stieltjes functions including some new ones. We introduce the notion of the exact Stieltjes order and give a criterion of exactness, simple sufficient conditions and some prototypical examples. The paper includes an appendix, where we define the left sided Riemann-Liouville and the right sided Kober-Erdelyi fractional integrals of measures supported on half axis and give inversion formulas for them.

研究の動機と目的

• 古典的ケース α = 1 を超えて、一般化されたスティルチェス変換の理論を体系化し拡張すること。
• 各一般化されたスティルチェス関数に自然に対応する指数である正確なスティルチェス順序を定義し、特徴づけること。
• 測度 [0,∞] 上の左側リーマン＝リウビルの分数階積分および右側コッパー＝エルデリの分数階積分に対する逆変換公式を確立すること。
• 一般化されたスティルチェス関数、分数階微積分、およびマークフ・関数、バーナンスタイン関数などの古典的関数類の間の関係を統一的かつ明確にすること。
• 将来の研究に触発された、超幾何関数論およびパデ近似への応用の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 収束が条件 (2) によって保証される積分表現 $ f(z) = \int_{[0,\infty]} \frac{\mu(du)}{(u+z)^\alpha} + \mu_\infty + \frac{\mu_0}{z^\alpha} $ を用いて、一般化されたスティルチェス変換を定義する。
• 空間 $ \mathcal{M}_\alpha $ 上の測度に作用する対合写像 $ N_\alpha $ を導入し、変換の異なるパrametrization を関連付ける。
• 一般化されたスティルチェス関数のための複素数逆変換公式および実数逆変換公式を確立し、ウィッダーやソカラの結果を拡張する。
• 一様化された点付きコンパクト化 $[0,\infty] $ 上の測度に対する左側リーマン＝リウビルおよび右側コッパー＝エルデリの分数階積分を定義し、キャプト型微分を用いて逆変換を実行する。
• コッパー＝エルデリ作用素の半群性質と $ I^+_\eta $ と $ K^-_{\alpha,\eta} $ 間の関係を用いて、可換図式の恒等式 $ N_{\alpha+\eta} I^+_\eta \mu = K^-_{\alpha,\eta} N_\alpha \mu $ を証明する。
• 理論を応用して漸近展開および因数分解結果を導出し、特に徐々に減衰する関数および超幾何関数に対して有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数 α > 0 に対して、関数が一般化されたスティルチェス変換として表現可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 与えられた一般化されたスティルチェス関数に対して、正確なスティルチェス順序をどのように定義し、特徴づけられるか？
• RQ3 測度 [0,∞] 上の左側リーマン＝リウビルおよび右側コッパー＝エルデリの分数階積分に対する逆変換公式は何か？
• RQ4 一般化されたスティルチェス変換は、マークフ関数、バーナンスタイン関数、およびパデ近似子といった古典的関数類とどのように関係するか？
• RQ5 $ I^+_\eta $ と $ K^-_{\alpha,\eta} $ の間の正確な関係は何か？ そして、$ N_\alpha $ 変換によってどのように形式化されるか？

主な発見

• 一般化されたスティルチェス関数の正確なスティルチェス順序は、零点および無限遠点近傍における表現測度の挙動を含む基準によって特徴づけられる。
• 正確性の十分条件として、測度 μ が $ \int_{[0,\infty)} \frac{\mu(dt)}{(1+t)^\alpha} < \infty $ を満たすことが挙げられ、これにより収束性および表現の一意性が保証される。
• 右側コッパー＝エルデリの分数階積分に対する逆変換公式は、密度関数の正則性条件の下でキャプト型分数階微分を用いて導出される。
• すべての μ ∈ $ \mathcal{M}_\alpha $ に対して、関係式 $ N_{\alpha+\eta} I^+_\eta \mu = K^-_{\alpha,\eta} N_\alpha \mu $ が成り立ち、分数階積分と測度変換の間の可換図式を確立する。
• 一般化されたスティルチェス変換は、ウィッダーおよびソカラの結果を拡張する実変数による特徴づけを有し、測度の減衰性によって漸近的挙動が決定される。
• コッパー＝エルデリ作用素に対する完全な逆変換フレームワークが、$ {}^{C}\!D_{-}^{\eta-1} $ を用いた明示的公式（η > 1 および η ∈ (0,1) の場合）を含めて提供される。