[論文レビュー] Generalized Tensor Function via the Tensor Singular Value Decomposition based on the T-Product

Yun Miao, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 46被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、T積を介したテンソル特異値分解（T-SVD）に基づく一般化テンソル関数フレームワークを導入し、行列関数を長方形テンソルへ拡張可能にする。主な道具として、コンact SVD（T-CSVD）、コーシー積分公式、一般化テンソル累乗を確立し、F確率的構造およびテンソル錐がこれらの関数のもとで不変であることを証明。データサイエンスおよびテンソル方程式への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, we present the definition of generalized tensor function according to the tensor singular value decomposition (T-SVD) via the tensor T-product. Also, we introduce the compact singular value decomposition (T-CSVD) of tensors via the T-product, from which the projection operators and Moore Penrose inverse of tensors are also obtained. We also establish the Cauchy integral formula for tensors by using the partial isometry tensors and applied it into the solution of tensor equations. Then we establish the generalized tensor power and the Taylor expansion of tensors. Explicit generalized tensor functions are also listed. We define the tensor bilinear and sesquilinear forms and proposed theorems on structures preserved by generalized tensor functions. For complex tensors, we established an isomorphism between complex tensors and real tensors. In the last part of our paper, we find that the block circulant operator established an isomorphism between tensors and matrices. This isomorphism is used to prove the F-stochastic structure is invariant under generalized tensor functions. The concept of invariant tensor cones is also raised.

研究の動機と目的

• T積およびT-SVDフレームワークを用いて、一般化行列関数を長方形テンソルへ拡張すること。
• テンソルコンパクト特異値分解（T-CSVD）を定義・分析し、その射影作用素およびモール・ペンローズ逆行列の導出における役割を明らかにすること。
• 部分等長写像テンソルを用いたコーシー積分公式を確立し、それを用いてテンソル方程式を解くこと。
• 一般化テンソル関数のもとでの構造的不変性を調査し、F確率的テンソルおよびテンソル錐の性質を含む。
• 複素数テンソルと実数テンソル、およびテンソルと行列の間の同型関係を探索し、ドメイン間での性質の転送を可能にすること。

提案手法

• T-SVDを用いて一般化テンソル関数 $ f^{igtriangleup}(oldsymbol{ancyscript{A}}) $ を提案し、$ \text{fold}(f(\text{bcirc}(\boldsymbol{\fancyscript{A}})) \boldsymbol{\fancyscript{E}}_1^{np \times n}) $ として定義。ルンドのF平方テンソル関数を長方形テンソルへ拡張。
• テンソルコンパクト特異値分解（T-CSVD）を導入し、$ \boldsymbol{\fancyscript{A}} = \boldsymbol{\fancyscript{U}} * \boldsymbol{\fancyscript{S}} * \boldsymbol{\fancyscript{V}}^H $ の形でテンソルを表現し、ランクおよび射影解析を可能にする。
• 部分等長写像テンソルを用いてテンソル関数のコーシー積分公式を導出し、解析的接続およびテンソル方程式の解法を可能にする。
• 一般化テンソル累乗を定義し、T-SVDフレームワークを用いてテンソル関数のテイラー展開を確立。
• ブロック巡回作用素を用いてテンソルと行列の間の同型関係を確立し、行列理論的性質の転送を可能にする。
• テンソル錐の概念を導入し、$ f $ が非負かつ単調減少である場合に、一般化テンソル関数のもとで不変であることを証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T積およびT-SVDを用いて、一般化行列関数を行列から長方形テンソルへどのように拡張できるか？
• RQ2 一般化テンソル関数のもとで保持される構造的不変性（例：F確率的性質、テンソル錐性質）は何か？
• RQ3 テンソル関数のコーシー積分公式は、テンソル方程式の解法をどのように支援するか？
• RQ4 ブロック巡回同型は、行列からテンソルへの性質転送において果たす役割は何か？
• RQ5 一般化テンソル関数のもとでテンソル錐が不変となる条件は何か？

主な発見

• 一般化テンソル関数 $ f^{igtriangleup}(\boldsymbol{\fancyscript{A}}) $ はT-SVDおよびT-CSVDを用いて長方形テンソルに対して適切に定義され、古典的行列関数理論が高次元テンソルへ拡張されることを実証。
• F二重確率的テンソルの集合は、$ f(1) = 1 $ のとき、ブロック巡回行列同型を用いて $ f^\bigtriangleup $ に関して不変であることが証明された。
• 固定されたユニタリテンソル $ \fancyscript{U}, \fancyscript{V} $ によって定義されるテンソル錐 $ \fancyscript{S}_{\fancyscript{U},\fancyscript{V}} $ は、$ x > 0 $ に対して $ f $ が非負かつ単調減少である場合、$ f^\bigtriangleup $ に関して不変である。
• $ x > 0 $ に対して $ f(x) > 0 $ である場合、一般化テンソル関数 $ f^\bigtriangleup $ はテンソル錐の内部を自身へ写像し、特異チューブの厳密な正性を保存する。
• 部分等長写像テンソルを用いてテンソル関数のコーシー積分公式が確立され、解析的取り扱いおよびテンソル方程式の解法が可能となった。
• 複素数テンソルと実数テンソルの間の同型関係が構築され、実数テンソル関数の結果を複素数テンソル関数へ拡張可能となった。