[論文レビュー] Generalized theta functions, strange duality, and odd orthogonal bundles on curves

Swarnava Mukhopadhyay, Richard Wentworth|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 62被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非自明なステイフェル＝ブライトン類をもつ奇数正規直交束のモジュライ空間上の一般化されたテータ関数について、Oxbury-Wilsonが提起した次元等式を証明し、Verlinde型の公式を確立する。ねじれスピン束を導入し、ヘッケ型変換を用いることで、平坦な射影的ヒチン接続を構成し、奇数正規直交束では奇妙な双対性が成立しないことを示し、スピンマッピングクラス群表現の可約性を導く。本研究は、スピン重みをもつP¹上の conformal block におけるランク-レベル双対性に関する疑問を解決する。

ABSTRACT

This paper studies spaces of generalized theta functions for odd orthogonal bundles with nontrivial Stiefel-Whitney class and the associated space of twisted spin bundles. In particular, we prove a Verlinde type formula and a dimension equality that was conjectured by Oxbury-Wilson. Modifying Hitchin's argument, we also show that the bundle of generalized theta functions for twisted spin bundles over the moduli space of curves admits a flat projective connection. We furthermore address the issue of strange duality for odd orthogonal bundles, and we demonstrate that the naive conjecture fails in general. A consequence of this is the reducibility of the projective representations of spin mapping class groups arising from the Hitchin connection for these moduli spaces. Finally, we answer a question of Nakanishi-Tsuchiya about rank-level duality for conformal blocks on the pointed projective line with spin weights.

研究の動機と目的

• 非自明なステイフェル＝ブライトン類をもつ奇数正規直交束のモジュライ空間上の一般化されたテータ関数について、Oxbury-Wilsonが提起したVerlinde型の公式と次元等式を証明すること。
• 曲線のモジュライ空間上でのねじれスピン束の一般化されたテータ関数のバンドルに、平坦な射影的ヒチン接続を構成すること。
• 奇数正規直交束に対する奇妙な双対性を調査し、素朴な予想が、成分構造とスピンノルムの影響により不成立であることを示し、ヒチン接続から生じるスピンマッピングクラス群の射影的表現が可約であることを導くこと。
• Nakanishi-Tsuchiyaが提起した、P¹上のスピン重みをもつ conformal block におけるランク-レベル双対性に関する疑問を解決すること。
• ねじれスピンモジュライスタック上の一般化されたテータ関数の空間と、so(2r+1)のレベルℓにおける conformal block の間に自然な同型を確立すること。

提案手法

• Beauville-Laszlo-Sorgerの均一化定理を用いて、非自明なスピンノルムをもつモジュライスタック M⁻_Spin(2r+1) としてねじれスピン束を導入する。
• M⁻_Spin(m) 上のPfaffianラインバンドル P を定義し、H⁰(M⁻_Spin(m), P^ℓ) ≅ V*_{ℓω₁}(P¹, so(m), ℓ) を証明することで、conformal block と関連づける。
• Cliffordバンドル上で、MSO(m) の成分を交換するヘッケ型の基本的変換（ι変換）を構成し、MSpin(m) と M⁻_Spin(m) を関連付ける。
• ι変換を用いて、一般化されたテータ関数と conformal block の間の同型の別証明を与える。
• TUY (KZ) 接続を適用することで、一般化されたテータ関数のバンドルが平坦な射影的接続をもつことを示す。
• 無限次元のClifford代数における明示的計算により行列要素を評価し、行列式の消滅を用いて奇妙な双対性が失敗することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なステイフェル＝ブライトン類をもつ奇数正規直交束の一般化されたテータ関数について、Oxbury-Wilsonが提起したVerlinde型の公式は成立するか？
• RQ2 曲線のモジュライ空間上でのねじれスピン束の一般化されたテータ関数のバンドルに、平坦な射影的ヒチン接続を構成できるか？
• RQ3 奇数正規直交束に対して奇妙な双対性は成立するか、それとも成分構造とスピンノルムの影響により素朴な予想が不成立となるか？
• RQ4 Nakanishi-Tsuchiyaが提起した、P¹上のスピン重みをもつ conformal block におけるランク-レベル双対性は存在するか？
• RQ5 Cliffordバンドル上のヘッケ型変換を用いて、一般化されたテータ関数と conformal block の同型を確立できるか？

主な発見

• H⁰(M⁻_Spin(2r+1), P^ℓ) の次元はVerlinde公式で与えられ、Oxbury-Wilsonの予想が裏付けられる。
• dim H⁰(M₂ᵣ₊₁, P^(2s+1)) = dim H⁰(M₂ₛ₊₁, P^(2r+1)) が成り立つ。ここで M₂ᵣ₊₁ = MSpin(2r+1) ⊔ M⁻_Spin(2r+1) である。
• 奇数正規直交束に対する奇妙な双対性写像は一般には不成立であり、ヒチン接続から生じるスピンマッピングクラス群の射影的表現が可約であることを示唆する。
• H⁰(M⁻_Spin(m), P^ℓ) は自然に conformal block 空間 V*_{ℓω₁}(P¹, so(m), ℓ) に同型であり、Verlinde同型をねじれの場合に拡張する。
• Clifford代数における明示的計算により、奇妙な双対性行列の行列式がゼロであることが示され、特定の重みペアでは同型が成立しないことが証明される。
• R(B₀¹) の最高重みベクトルへの作用は、重複度をもつ項の和として得られ、項 ϕ₁,₀(−½)⋯ϕₖ,₀(−½) は係数 k! で現れる。