[論文レビュー] Generalized Thue-Morse words and palindromic richness

Štěpán Starosta|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2011

semigroups and automata theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、基数$b$表現の桁の和を$m$で割った余りとして定義される一般化されたトゥエ＝モールス語$t_{b,m}$が、位数$2m$の二面体群に同型な群$D_m$に関して$D_m$-richであることを証明している。つまり、その言語は$D_m$のすべての元について閉じており、$D_m$に属するすべての反自己同型に関して最大の回文的豊かさを達成している。著者らは、一般化された回文的複雑度の等式を確立し、$t_{b,m}$の$D_m$-richnessを確認した。また、非周期的場合（$b \not\equiv 1 \pmod{m}$）における因子複雑度の完全な公式を導出した。

ABSTRACT

We prove that the generalized Thue-Morse word $\mathbf{t}_{b,m}$ defined for $b \geq 2$ and $m \geq 1$ as $\mathbf{t}_{b,m} = (s_b(n) \mod m)_{n=0}^{+\infty}$, where $s_b(n)$ denotes the sum of digits in the base-$b$ representation of the integer $n$, has its language closed under all elements of a group $D_m$ isomorphic to the dihedral group of order $2m$ consisting of morphisms and antimorphisms. Considering simultaneously antimorphisms $\Theta \in D_m$, we show that $\mathbf{t}_{b,m}$ is saturated by $\Theta$-palindromes up to the highest possible level. Using the terminology generalizing the notion of palindromic richness for more antimorphisms recently introduced by the author and E. Pelantov\'a, we show that $\mathbf{t}_{b,m}$ is $D_m$-rich. We also calculate the factor complexity of $\mathbf{t}_{b,m}$.

研究の動機と目的

• . 本論文の目的は、一般化されたトゥエ＝モールス語$t_{b,m}$が、自己同型と反自己同型の群$G$に関して$G$-richであるかどうかという未解決の問題を解くことである。
• . 本論文は、$t_{b,m}$の言語の構造的性質を調査し、特に位数$2m$の二面体群に同型な群$D_m$に関して閉じていること、すなわち複数の反自己同型に関して回文的豊かさが最大であることを明らかにすることを目的としている。
• . 本研究の目的には、非周期的場合（$b \not\equiv 1 \pmod{m}$）における$t_{b,m}$の因子複雑度$C(n)$の計算が含まれており、古典的トゥエ＝モールス列における既知の結果を拡張することを目的としている。
• . 本研究は、回文的豊かさの概念を複数の反自己同型に一般化し、$D_m$-richnessを古典的回文的豊かさの自然な拡張としての枠組みを提供することを目的としている。

提案手法

• . 本論文は、$t_{b,m}(n) = (s_b(n) \mod m)$として一般化されたトゥエ＝モールス語$t_{b,m}$を定義し、ここで$s_b(n)$は$n$の基数$b$表現における桁の和である。そして、$t_{b,m}$が原始的置換$\phi_{b,m}$の不動点であることを示している。
• . 本論文は、$2m$個の要素（自己同型と反自己同型）からなる群$D_m$を構成し、$D_m$が二面体群$D_m$に同型であることを示している。さらに、$t_{b,m}$の言語が$D_m$のすべての要素について閉じていることを示している。
• . 著者らは、二重特異因子（BS）、双対順序$b(w)$、および$\Theta$-回文的拡張$\text{Pext}_\Theta(w)$の性質を用いて、$t_{b,m}$の言語の構造を分析している。
• . 要素複雑度$C(n)$を計算するために、$\Delta^2 C(n) = \sum_{w \in L_n(u)} b(w)$という恒等式を適用し、長さごとの二重特異因子の詳細なケース分析に依存している。
• . すべての$n \geq 1$に対して、$\Delta C(n) + 2m = \sum_{\Theta \in D_m, \Theta \text{ 反自己同型}} \left( P_\Theta(n) + P_\Theta(n+1) \right)$という重要な等式を証明し、$D_m$-richnessを確認している。
• . 非周期的場合（$b \not\equiv 1 \pmod{m}$）において、$\Delta C(n)$および$C(n)$の区分的公式を、$b$のべきによって定義される区間に基づいて導出している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . 一般化されたトゥエ＝モールス語$t_{b,m}$は、特に$D_m$に関して、反自己同型の群の下で最大の回文的豊かさを達成するか？
• RQ2 . $t_{b,m}$の言語は、位数$2m$の二面体群に同型な群$D_m$のすべての要素について閉じているか？
• RQ3 . 非周期的場合（$b \not\equiv 1 \pmod{m}$）における$t_{b,m}$の正確な因子複雑度$C(n)$は何か？
• RQ4 . 二重特異因子の双対順序$b(w)$および$\Theta$-回文的拡張$\text{Pext}_\Theta(w)$は、$t_{b,m}$の複雑度と豊かさにどのように寄与するか？
• RQ5 . 一般化された回文的豊かさ条件（一般化された不等式における等式）は、すべての$n \geq 1$において$t_{b,m}$で達成可能か？これにより$D_m$-richnessが確認される。

主な発見

• . $t_{b,m}$の言語は、位数$2m$の二面体群に同型な群$D_m$のすべての要素について閉じており、$t_{b,m}$が$D_m$-richであることを証明している。
• . $t_{b,m}$はすべての$n \geq 1$に対して、等式$\Delta C(n) + 2m = \sum_{\Theta \in D_m, \Theta \text{ 反自己同型}} \left( P_\Theta(n) + P_\Theta(n+1) \right)$を満たしており、$D_m$-richnessが確認されている。
• . 非周期的場合（$b \not\equiv 1 \pmod{m}$）において、因子複雑度$C(n)$は区分的公式で与えられる：$2 \leq n \leq b$では$C(n) = qm(n-1) - m(n-2)$であり、$b$のべきによって定義される区間においてはより複雑な式となる。ここで$q = \gcd(b-1, m)$である。
• . $t_{b,m}$における二重特異因子$w$の双対順序$b(w)$は、$|w| \leq b-1$および$|w| \in [b+1, 2b-2]$では$0$、$|w| = b$では$1$、$|w| = 2b-1$では$-1$である。また、$\#\text{Pext}_\Theta(w) = 1$または$2$であり、これは長さに依存する。
• . $\Theta$-回文的拡張の数$\#\text{Pext}_\Theta(w)$は、$|w| \leq b-1$および$|w| \in [b+1, 2b-2]$では$1$、$|w| = b$では$2$である。一方、$|w| = 2b-1$では$0$であり、これは最大長で回文的拡張が失われる状況を反映している。
• . 周期的場合（$b \equiv 1 \pmod{m}$）では、因子複雑度は定数である：すべての$n > 0$に対して$C(n) = m$である。これは、言語が最終的に周期的であるためである。