[論文レビュー] Generalized toric varieties for simple non-rational convex polytopes

Fiammetta Battaglia, Elisa Prato|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、複素クェーシィフォールドとクェーシィトーラスを用いて、単純な非有理凸多面体に対する一般化トーリック多様体を導入し、複素商を介してケーラークェーシィフォールドを構成することで、標準的なトーリック多様体を一般化する。これらの複素クェーシィフォールドが、以前の研究におけるシンプレクティッククェーシィフォールドと-equivariantに微分同相であり、複素構造とシンプレクティック構造が両立することを証明し、多面体が非有理であってもケーラークェーシィフォールドを形成することが示される。

ABSTRACT

We call complex quasifold of dimension k a space that is locally isomorphic to the quotient of an open subset of the space C^k by the holomorphic action of a discrete group; the analogue of a complex torus in this setting is called a complex quasitorus. We associate to each simple polytope, rational or not, a family of complex quasifolds having same dimension as the polytope, each containing a dense open orbit for the action of a suitable complex quasitorus. We show that each of these spaces M is diffeomorphic to one of the symplectic quasifolds defined in http://arXiv.org/abs/math:SG/9904179, and that the induced symplectic structure is compatible with the complex one, thus defining on M the structure of a Kaehler quasifold. These spaces may be viewed as a generalization of the toric varieties that are usually associated to those simple convex polytopes that are rational.

研究の動機と目的

• 有理多面体でない場合に、標準的手法が非有理性のため失敗するため、トーリック多様体の構成を有理多面体を超えて拡張すること。
• 非有理多面体をモデル化できる新しい種類の複素幾何的対象、すなわち複素クェーシィフォールドを定義すること。
• 複素クェーシィフォールドとシンプレクティッククェーシィフォールドの間の微分同相写像を介して対応関係を確立し、複素構造とシンプレクティック構造の両方を保存すること。
• 得られる空間がケーラー構造を備えていることを示し、古典的なケーラー・トーリック多様体の枠組みを一般化すること。

提案手法

• C^n における離散的で正則な群作用による商として定義される複素クェーシィフォールドを、複素多様体の一般化として導入する。
• この幾何におけるトーラスの自然な置き換えとして、稠密な開軌道を持つ複素クェーシィトーラスを導入する。
• 多面体の面の数を d とするとき、C^d の開部分集合を、N_C ⊂ T^d_C = C^d / Z^d である部分群による商として、複素クェーシィフォールド M を位相的商として構成する。
• 複素商構成法 M = C^d_Δ / N_C を用いて、次元 n のコンパクトな複素クェーシィフォールドの族を定義する。
• 各 M が離散的群作用による C^n の局所正則同型写像に局所的に等しいことを証明し、複素クェーシィフォールドの公理を満たすことを示す。
• 複素商 M と以前の研究におけるシンプレクティッククェーシィフォールドとの間の-equivariant微分同相写像 χ を確立し、複素構造とシンプレクティック構造の両方が両立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理性の仮定を避ける幾何的枠組みを用いて、非有理凸多面体に対するトーリック多様体を一般化できるか？
• RQ2 非有理多面体に対して、1つの幾何的対象上に複素構造とシンプレクティック構造を同時に実現できるか？
• RQ3 非有理多面体に対して、モーメントマップを介して構成された複素クェーシィフォールドとシンプレクティッククェーシィフォールドの正確な関係は何か？
• RQ4 非有理多面体から得られる複素クェーシィフォールドにケーラー構造を定義できるか？
• RQ5 複素クェーシィトーラスは一般化トーリック空間上でどのように作用するか？また、標準的なトーラス作用をどのように一般化するか？

主な発見

• 任意の単純な凸多面体 Δ ⊂ d* に対して、有理かどうかに関係なく、次元 n のコンパクトな複素クェーシィフォールドの族が得られる。
• 各複素クェーシィフォールド M は、稠密な開軌道を持つ複素クェーシィトーラス D_C による全純作用を備えており、標準的なトーリック幾何におけるトーラス作用を一般化する。
• 複素クェーシィフォールド M は、[P] におけるシンプレクティッククェーシィフォールドと-equivariantに微分同相であり、群作用を保存する写像 χ を介して結びつけられる。
• M に誘導されるシンプレクティック構造は複素構造と両立し、M がケーラークェーシィフォールドの構造を持つことを示す。
• M におけるケーラー形式は、普遍被覆上の明示的な微分形式で局所的に与えられ、遷移写像に対して正しく変換される。
• 区間 [0,1] の例では、複素商がクェーシィ球面と微分同相であるケーラークェーシィフォールドであることが示され、ケーラー形式が明示的に計算され、不変性と両立性が確認されている。