[論文レビュー] Generalized Tur\'an problems for disjoint copies of graphs

Dániel Gerbner, Abhishek Methuku+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、グラフの非交差コピーに関する一般化されたトーラン数を調査しており、特に $ ex(n,H,kF) $ ー $ n $ 頂点のグラフで $ k $ 個の $ F $ の頂点非交差コピーを避けるときの $ H $ のコピーの最大数である。$ H = K_3 $ およびさまざまな $ F $ に対して漸近的境界を確立し、$ ex(n,K_3,kC_5) = (1+o(1))\binom{k-1}{3} \frac{n^6}{4^3} $ を示しており、これは $ ex(n,K_3,C_5) $ と比較してオーダーの大きさが著しく増加していることを明らかにしている。また、普遍頂点と極値グラフ構造を用いた新しい数え上げ法を導入している。

ABSTRACT

Given two graphs $H$ and $F$, the maximum possible number of copies of $H$ in an $F$-free graph on $n$ vertices is denoted by $ex(n,H,F)$. We investigate the function $ex(n,H,kF)$, where $kF$ denotes $k$ vertex disjoint copies of a fixed graph $F$. Our results include cases when $F$ is a complete graph, cycle or a complete bipartite graph.

研究の動機と目的

• $ ex(n,H,kF) $、つまり $ kF $-自由な $ n $ 頂点グラフにおける $ H $ のコピーの最大数の挙動を理解すること。ここで $ kF $ は $ F $ の $ k $ 個の頂点非交差コピーを表す。
• $ F $ の $ k $ 個の非交差コピーを禁じることで $ H $ の極値的数え上げがどのように変化するか、$ F $ の1つのコピーを禁じる場合と比較して調べること。
• $ H $ が三角形で、$ F $ がサイクル、完全グラフ、または完全二部グラフである場合の $ ex(n,H,kF) $ の漸近的またはオーダーの大きさの境界を確立すること。
• $ kF $-フリーな条件下で $ H $-コピーの数を最大化する極値グラフの構造的性質を調査すること。特に、普遍頂点とトーラン型構成を用いること。
• $ ex(n,H,kF) $ が $ ex(n,H,F) $ より著しく速く成長する場合があるかどうかを特定し、古典的トーラン理論からの直感に反する事例を明らかにすること。

提案手法

• $ G $ が $ F $-フリーであるときの $ K_{k-1} + G $ の構成を用い、$ k-1 $ 個の普遍頂点により $ F $ の $ k $ 個の非交差コピーをブロックすることで、$ H $ のコピーを多く含む $ kF $-フリーなグラフを生成する。
• 特にトーラングラフ $ T_r(n) $ を用いることで、$ F $-フリーなグラフにおける $ H $-コピーの数を制限する、極値グラフ理論の技法を適用する。
• $ lK_3 $ の「良いコピー」を数える方法を用い、各三角形が固定された $ r \triangleq k-1 $ 個の三角形の各々から高々1つの頂点を使用する。
• 頻度数え上げと辺共有の議論を用い、固定された三角形 $ A_i $ に含まれる頂点を含む良い三角形の数が、各三角形あたり $ O(n) $ であることを示す。
• $ lK_3 $ の数え上げ問題を、三角形を含まないグラフ $ G_R $ における $ lK_2 $ の数え上げに還元し、エドーシュの結果 $ ex(n,lK_2,K_3) = (1+o(1)) \frac{1}{l!} \binom{n^2}{4} $ を用いる。
• 確率的および極値的数え上げ枠組みを適用し、特に $ F = C_5 $ の場合に $ ex(n,K_3,kF) $ の漸近的表現を導出する。これには、普遍頂点の寄与と独立な辺ペアリングを組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n $ が増加する際、$ ex(n,K_3,kC_5) $ はどのように漸近的にスケーリングするか。また、$ ex(n,K_3,C_5) $ と比較するとどうなるか。
• RQ2 $ kF $-フリーなグラフの構造的性質は、$ H $ のコピー数を最大化するためにどのようなものか。特に $ H = K_3 $ で $ F $ がサイクルまたは完全グラフである場合。
• RQ3 $ ex(n,H,kF) $ のオーダーの大きさが、$ ex(n,H,F) $ より著しく大きくなることはあり得るか。もしそうなら、どのような条件下か。
• RQ4 $ F $ が完全グラフ $ K_r $ または完全二部グラフ $ K_{s,t} $ のとき、$ ex(n,K_3,kF) $ の漸近的挙動はどのようになるか。
• RQ5 普遍頂点と極値グラフ分解の手法を、他のグラフ $ H $ および $ F $ へ一般化できる範囲はどの程度か。

主な発見

• $ F = C_5 $ の場合、$ ex(n,K_3,kC_5) = (1+o(1))\binom{k-1}{3} \frac{n^6}{64} $ であり、これは $ ex(n,K_3,C_5) = \theta(n^{3/2}) $ と比較して成長率が多項式的に飛躍していることを示している。
• $ kC_5 $-フリーなグラフにおける $ lK_3 $ の良いコピーの数は、$ (1+o(1))\binom{k-1}{l} \frac{n^{2l}}{4^l} $ 以下である。これは、三角形を含まないグラフにおける $ lK_2 $ の数え上げを行い、$ k-1 $ 個の固定された三角形から $ l $ 個の頂点をペアリングすることで導出される。
• 普遍頂点を用いる三角形の寄与は、各固定された三角形あたり $ O(n) $ に抑えられ、これにより下位の項を上回る寄与は生じない。
• $ F = C_5 $ の場合、$ K_{k-1} + T_2(n-k+1) $ の構成、ここで $ T_2(n-k+1) $ は完全二部トーラングラフであるが、$ \theta(n^6) $ 個の三角形を達成し、上界のタイトさを示している。
• $ F = C_{2l+1} $ または $ C_{2l} $ の場合、$ ex(n,K_r,C_k) = O(n^{1+1/l}) $ であり、これは既知のベルジハイパーグラフに関する結果を一般化されたトーラン設定へ拡張している。
• 本稿は、$ ex(n,H,kF) $ が $ ex(n,H,F) $ より著しく速く成長しうることを示しており、$ H = K_3 $、$ F = C_5 $、$ k=2 $ の場合に $ \theta(n^6) $ 対 $ \theta(n^{3/2}) $ の対比によって明らかにされている。これは古典的トーラン数とは根本的に異なる性質を示している。