[論文レビュー] Generalized Tur\'an problems for even cycles

Dániel Gerbner, Ervin Győri+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 32被引用数 12

ひとこと要約

本稿は偶数サイクルに関する一般化されたツーラン問題を調査し、特定の偶数サイクルを避けるグラフにおけるサイクル $C_{2l}$ のコピー数の最大値を特定する。タイトな漸近的境界を確立し、$ex(n,C_{2l},C_{2k}) = ｈeta(n^l)$ を示し、追加のサイクルが禁止された場合の鋭い閾値を証明する。これにより、1つのサイクルをさらに除外するとサイクル数が指数関数的に減少することが示される。

ABSTRACT

Given a graph $H$ and a set of graphs $\\mathcal F$, let $ex(n,H,\\mathcal F)$ denote the maximum possible number of copies of $H$ in an $\\mathcal F$-free graph on $n$ vertices. We investigate the function $ex(n,H,\\mathcal F)$, when $H$ and members of $\\mathcal F$ are cycles. Let $C_k$ denote the cycle of length $k$ and let $\\mathscr C_k=\\{C_3,C_4,\\ldots,C_k\\}$. Some of our main results are the following. (i) We show that $ex(n, C_{2l}, C_{2k}) = \\Theta(n^l)$ for any $l, k \\ge 2$. Moreover, we determine it asymptotically in the following cases: We show that $ex(n,C_4,C_{2k}) = (1+o(1)) \\frac{(k-1)(k-2)}{4} n^2$ and that the maximum possible number of $C_6$'s in a $C_8$-free bipartite graph is $n^3 + O(n^{5/2})$. (ii) Solymosi and Wong proved that if Erd\\H{o}s's Girth Conjecture holds, then for any $l \\ge 3$ we have $ex(n,C_{2l},\\mathscr C_{2l-1})=\\Theta(n^{2l/(l-1)})$. We prove that forbidding any other even cycle decreases the number of $C_{2l}$'s significantly: For any $k > l$, we have $ex(n,C_{2l},\\mathscr C_{2l-1} \\cup \\{C_{2k}\\})=\\Theta(n^2).$ More generally, we show that for any $k > l$ and $m \\ge 2$ such that $2k \ eq ml$, we have $ex(n,C_{ml},\\mathscr C_{2l-1} \\cup \\{C_{2k}\\})=\\Theta(n^m).$ (iii) We prove $ex(n,C_{2l+1},\\mathscr C_{2l})=\\Theta(n^{2+1/l}),$ provided a strong version of Erd\\H{o}s's Girth Conjecture holds (which is known to be true when $l = 2, 3, 5$). Moreover, forbidding one more cycle decreases the number of $C_{2l+1}$'s significantly: More precisely, we have $ex(n, C_{2l+1}, \\mathscr C_{2l} \\cup \\{C_{2k}\\}) = O(n^{2-\\frac{1}{l+1}}),$ and $ex(n, C_{2l+1}, \\mathscr C_{2l} \\cup \\{C_{2k+1}\\}) = O(n^2)$ for $l > k \\ge 2$. (iv) We also study the maximum number of paths of given length in a $C_k$-free graph, and prove asymptotically sharp bounds in some cases.

研究の動機と目的

• 与えられた偶数サイクル $C_{2l}$ のコピー数の最大値を、禁止された偶数サイクル（特に $C_{2k}$）を避けるグラフにおいて特定すること。
• エドーシュのサイクル長径予想の下で知られている境界の鋭さを調査すること、特に奇数サイクルに対して。
• 追加のサイクルが禁止された場合、$C_{2l}$ や $C_{2l+1}$ の極値的コピー数にどのように影響するかを分析すること。
• 一般化されたツーラン関数 $ex(n,H,F)$ をサイクルに拡張し、いくつかの重要なケースで漸近的にタイトな境界を提供すること。
• 特に $l$ が奇数であるか、または指数が整数でない場合に、$ex(n,C_l,C_A)$ の挙動を調査すること。

提案手法

• ボンディ＝シモノビッツの定理やサイクル分布に関する定理を含む極値グラフ理論の技法を用いる。
• サイクルに対する「フレンドリー」および「アンフレンドリー」な辺の概念を適用し、サイクルの重複度を制御し、サイクル長の延長を用いて矛盾を導く。
• シータグラフとパスの延長を用いて、$C_l$ コピー数の下界を達成するグラフを構成する。
• エドーシュのサイクル長径予想とその既知のケース（$l=2,3,5$）を活用し、奇数サイクルの漸近的境界を導出する。
• 二重数え上げ法と頂点を共有しないサイクルの議論を用いて、$C_3,C_4,C_6$-フリーなグラフにおける$C_5$の数を制限する。
• 極値的グラフの構造を分析し、1つのサイクルをさらに禁止すると、特定のサイクルのコピー数が著しく減少することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数サイクル $C_{2l}$ と $C_{2k}$ に対して、$ex(n,C_{2l},C_{2k})$ の漸近的成長はいかほどか？
• RQ2 追加の偶数サイクル $C_{2k}$（$k>l$）が禁止された場合、$C_{2l}$ コピー数はどのように変化するか？
• RQ3 $C_8$-フリーな二部グラフにおける $C_6$ の最大数は何か？
• RQ4 より強い形のエドーシュのサイクル長径予想の下で、すべての長さが $2l$ 以下のサイクルが禁止された場合、$C_{2l+1}$ の数はどのように振る舞うか？
• RQ5 1つのサイクルをさらに禁止した場合、$ex(n,C_{2l+1},{C}_{2l} igcup igackepsilon_{2k}igig)$ または $ex(n,C_{2l+1},{C}_{2l} igcup igackepsilon_{2k+1}igig)$ はどのように変化するか？

主な発見

• 任意の $l,k \to 2$ に対して、$ex(n,C_{2l},C_{2k}) = \theta(n^l)$ であり、特に $ex(n,C_4,C_{2k}) = (1+o(1))\frac{(k-1)(k-2)}{4}n^2$ が成り立つ。
• $C_8$-フリーな二部グラフにおける $C_6$ の最大数は $n^3 + O(n^{5/2})$ である。
• $k>l$ のとき、$ex(n,C_{2l},{\fC}_{2l-1} \bigcup \big\backepsilon_{2k}\big\big) = \theta(n^2)$ であり、追加の偶数サイクルが禁止されるとサイクル数が急激に減少することが示される。
• $m \to 2$ かつ $2k \neq ml$ のとき、$ex(n,C_{ml},{\fC}_{2l-1} \bigcup \big\backepsilon_{2k}\big\big) = \theta(n^m)$ であり、これは前述の結果を一般化する。
• より強い形のエドーシュのサイクル長径予想の下で、$ex(n,C_{2l+1},{\fC}_{2l}) = \theta(n^{2+1/l})$ が成り立つ。
• $l>k\to 2$ のとき、$ex(n,C_{2l+1},{\fC}_{2l} \bigcup \big\backepsilon_{2k}\big\big) = O(n^{2-1/(l+1)})$ かつ $ex(n,C_{2l+1},{\fC}_{2l} \bigcup \big\backepsilon_{2k+1}\big\big) = O(n^2)$ であり、極値的数え上げに著しい低下が見られる。