[論文レビュー] Generalized Witten Genus and Vanishing Theorems

Qingtao Chen, Fengling Han+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スティリング$^c$多様体における整数フーリエ係数をもつレベル1のモジュラー形式に値をとる、スピン$^c$多様体における一般化されたウィッテン・ジェネルの導入を述べる。また、一般化されたウィッテン・ジェネルおよびその mod 2 同型について、一般化された複素射影空間の積内の一般化された完全交差を含む特定の多様体クラスにおいて、ランドウ＝ストン型の消滅定理を確立する。

ABSTRACT

We construct a generalized Witten genus for spin$^c$ manifolds, which takes values in level 1 modular forms with integral Fourier expansion on a class of spin$^c$ manifolds called string$^c$ manifolds. We also construct a mod 2 analogue of the Witten genus for $8k+2$ dimensional spin manifolds. The Landweber-Stong type vanishing theorems are proven for the generalized Witten genus and the mod 2 Witten genus on string$^c$ and string (generalized) complete intersections in (product of) complex projective spaces respectively.

研究の動機と目的

• モジュラー形式の整数フーリエ係数をもつレベル1の形式に値をとるように、ウィッテン・ジェネルをスピン$^c$多様体へ拡張すること。
• 8k+2次元のスピン多様体におけるウィッテン・ジェネルの mod 2 同型を定義すること。
• スティリング$^c$多様体における一般化されたウィッテン・ジェネルのランドウ＝ストン型の消滅定理を確立すること。
• 複素射影空間の積内の一般化された完全交差における mod 2 ウィッテン・ジェネルの消滅定理を証明すること。
• モジュラー形式およびスピン幾何学の文脈において、既存の消滅結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 等長的楕円コホロジーとレベル1のモジュラー形式を用いて、一般化されたウィッテン・ジェネルを構成する。
• スティリング$^c$多様体を、一般化されたジェネルが整数フーリエ展開をもつモジュラー形式に値をとる自然なスピン$^c$多様体のクラスとして定義する。
• ランドウ＝ストンの正確関手定理を適用して、一般化されたウィッテン・ジェネルの消滅定理を導出する。
• 8k+2次元のスピン多様体における楕円ジェネルの mod 2 減少数化を用いて、ウィッテン・ジェネルの mod 2 バージョンを導入する。
• ボルディズム理論的技法と特徴類を用いて、完全交差上のジェネルの消滅挙動を分析する。
• 複素射影空間の積の構造を活用して、一般化された完全交差およびそのジェネル不変量を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー形式の整数フーリエ係数をもつ値をとるように、ウィッテン・ジェネルをスピン$^c$多様体へ拡張することは可能か？
• RQ2 スピン$^c$多様体にどのような条件を課すと、一般化されたウィッテン・ジェネルがレベル1のモジュラー形式に値をとるようになるか？
• RQ3 8k+2次元のスピン多様体に対して、ウィッテン・ジェネルの mod 2 同型が存在するか、その性質は何か？
• RQ4 スティリング$^c$多様体において、一般化されたウィッテン・ジェネルが消えるための位相的条件は何か？
• RQ5 複素射影空間の積内の一般化された完全交差において、一般化されたウィッテン・ジェネルに対してランドウ＝ストン型の消滅定理が成立するか？

主な発見

• スティリング$^c$多様体における一般化されたウィッテン・ジェネルが構成され、整数フーリエ係数をもつレベル1のモジュラー形式に値をとることが示された。
• 8k+2次元のスピン多様体に対して、ウィッテン・ジェネルの mod 2 同型が定義され、古典的ジェネルが特徴的2の世界へ拡張された。
• スティリング$^c$多様体における一般化されたウィッテン・ジェネルのランドウ＝ストン型の消滅定理が証明された。
• 複素射影空間の積内の一般化された完全交差における mod 2 ウィッテン・ジェネルの消滅定理が確立された。
• 古典的消滅定理が楕円コホロジーの文脈で一般化され、特定の幾何的構造の存在に対する新たな障害が得られた。
• この枠組みにより、モジュラー形式およびボルディズム理論によるジェネルの消滅に関する既存の結果が統一的かつ拡張された。