[論文レビュー] Generalizing and Derandomizing Gurvits's Approximation Algorithm for the Permanent

Scott Aaronson, Travis Hance|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Gurvitsのランダム化アルゴリズムを一般化・決定的化し、$n \times n$ 行列のパーマネントを $\pm \varepsilon \|A\|^n$ の加法的誤差内で $O(n^2 / \varepsilon^2)$ 時間で近似する。重複する行や列をもつ行列に対する近似を向上させるためにボソン的生成演算子の類似を用い、非負行列に対しては複素 $\varepsilon$-バイアス集合を導入してアルゴリズムを決定的化し、$O(\log n + \log 1/\varepsilon)$ のランダムネスで多項式時間の決定的近似を達成する。

ABSTRACT

Around 2002, Leonid Gurvits gave a striking randomized algorithm to approximate the permanent of an n*n matrix A. The algorithm runs in O(n^2/eps^2) time, and approximates Per(A) to within eps*||A||^n additive error. A major advantage of Gurvits's algorithm is that it works for arbitrary matrices, not just for nonnegative matrices. This makes it highly relevant to quantum optics, where the permanents of bounded-norm complex matrices play a central role. Indeed, the existence of Gurvits's algorithm is why, in their recent work on the hardness of quantum optics, Aaronson and Arkhipov (AA) had to talk about sampling problems rather than estimation problems. In this paper, we improve Gurvits's algorithm in two ways. First, using an idea from quantum optics, we generalize the algorithm so that it yields a better approximation when the matrix A has either repeated rows or repeated columns. Translating back to quantum optics, this lets us classically estimate the probability of any outcome of an AA-type experiment---even an outcome involving multiple photons "bunched" in the same mode---at least as well as that probability can be estimated by the experiment itself. (This does not, of course, let us solve the AA sampling problem.) It also yields a general upper bound on the probabilities of "bunched" outcomes, which resolves a conjecture of Gurvits and might be of independent physical interest. Second, we use eps-biased sets to derandomize Gurvits's algorithm, in the special case where the matrix A is nonnegative. More interestingly, we generalize the notion of eps-biased sets to the complex numbers, construct "complex eps-biased sets," then use those sets to derandomize even our generalization of Gurvits's algorithm to the multirow/multicolumn case (again for nonnegative A). Whether Gurvits's algorithm can be derandomized for general A remains an outstanding problem.

研究の動機と目的

• 任意の複素行列のパーマネントを近似するGurvitsのランダム化アルゴリズムを、特に量子光学において光子の束縛をモデル化する重複する行や列をもつ場合に改善すること。
• より小さな行列 $B$ の列を繰り返して得られる行列を扱えるようにアルゴリズムを一般化し、重複構造に対するより緊密な加法的誤差バインディングを達成すること。
• 非負行列に対してGurvitsのアルゴリズムを $\varepsilon$-バイアス集合を用いて決定的化し、一般化された場合に備えて複素 $\varepsilon$-バイアス集合へ拡張すること。
• 光子の束縛を伴う線形光学実験の古典的シミュレーションツールを提供すること、特にAaronson-Arkhipovのサンプリング問題の文脈において。
• 線形光学ネットワークにおける束縛光子の結果確率に関する上限に関する予想を解消すること。

提案手法

• 形式的変数をボソン的生成演算子として扱い、$x_i$ を $\sqrt{s_i} x_i$ に置き換えることで、重複する列をモデル化する。
• 行列 $A$ が $B$ の各列を $s_i$ 個ずつもつ場合の $|\operatorname{Per}(A)|$ の新しい上界を導出し、$\frac{s_1! \cdots s_k!}{\sqrt{s_1^{s_1} \cdots s_k^{s_k}}} \|B\|^n$ とし、重複構造をもつ場合の誤差バインディングを改善する。
• 実 $\varepsilon$-バイアス集合を複素単位円に拡張し、複素 $\varepsilon$-バイアス集合の概念を導入する。
• 複素 $\varepsilon$-バイアス集合による決定的アンプルフィケーションを用い、複素単位根の積の期待値のノルムが $\varepsilon/2$ 以下になるように保証することで、誤差制御を可能にする。
• 一般化されたアルゴリズムを線形光学ネットワークにおける遷移振幅の推定に適用し、特に同じモードに複数の光子が存在する結果に対して有効である。
• ランダム化と決定的構成をハイブリッド的に用いる：$\ell = O(\log n + \log 1/\varepsilon)$ 個の複素単位根を決定的に選択し、$d_j \in \{0,1\}$ を一様ランダムに選ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gurvitsのアルゴリズムは、特に量子光学において光子の束縛をモデル化する重複する行や列をもつ行列に対して改善可能か？
• RQ2 非負行列のパーマネントのランダム化近似は、$\varepsilon$-バイアス集合を用いて決定的化可能か？
• RQ3 $\varepsilon$-バイアス集合の概念は、複素単位円に一般化可能か？ これにより一般化されたアルゴリズムの決定的化が可能か？
• RQ4 パーマネントが非負に大きくならないユニタリまたは部分ユニタリ行列の構造的特徴づけは可能か？ これにより決定的推定が可能か？
• RQ5 線形光学的振幅の推定における加法的誤差バインディングは、多項式時間で $\pm 1/\operatorname{poly}(n)$ に改善可能か？

主な発見

• 一般化されたアルゴリズムは、$O(nk / \varepsilon^2)$ 時間で $\operatorname{Per}(A)$ を $\pm \varepsilon \cdot \frac{s_1! \cdots s_k!}{\sqrt{s_1^{s_1} \cdots s_k^{s_k}}} \|B\|^n$ の加法的誤差内で近似する。$A$ に重複する列がある場合、Gurvitsの元のバインディングを上回る。
• 本論文は、$|\operatorname{Per}(A)| \leq \frac{s_1! \cdots s_k!}{\sqrt{s_1^{s_1} \cdots s_k^{s_k}}} \|B\|^n$ の新しい上界を証明し、Gurvitsの予想を解消し、束縛光子の結果確率に対する物理的上限を提供する。
• 本研究では、$O(\log n + \log 1/\varepsilon)$ 個の要素をもつ複素 $\varepsilon$-バイアス集合を構成し、一般化されたアルゴリズムの決定的化を可能にする。
• 非負行列に対する決定的アルゴリズムは、$O\left(\log n + \log \frac{1}{\varepsilon}\right)$ 個のランダムビットのみを用い、高確率で $\varepsilon$-誤差制御を達成する。
• 本手法により、束縛光子を含む任意の線形光学的振幅を、量子実験そのものの加法的誤差と同等の精度で古典的に推定可能である。
• 複素 $\varepsilon$-バイアス集合の構成は、$\pi/8$-強さを持つ単位根を用いた新規なアンプルフィケーション技術に依存しており、従来の $\varepsilon$-バイアス集合構成とは異なり、単一の $-1$ 値に依存しない。