[論文レビュー] Generalizing the Kawaguchi-Kyan bound to stochastic parallel machine scheduling

Sven Jäger, Martin Skutella|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2018

Scheduling and Optimization Algorithms被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、処理時間が確率的変数である確率的並列マシンスケジューリングにおいて、重み付き最短予想処理時間（WSEPT）ルールの性能保証を改善する。$1 + \frac{1}{2}(\sqrt{2} - 1)(1 + \Delta)$ のより緊密な近似比を確立し、古典的な Kawaguchi-Kyan 界を確率的設定に一般化し、$\Delta \to 0$ の極限で決定的 WSPT 界と一致する。結果は、洗練された最悪ケースインスタンス解析と有限 $m$ における性能比の正確な特徴付けによって得られる。

ABSTRACT

Minimizing the sum of weighted completion times on $m$ identical parallel machines is one of the most important and classical scheduling problems. For the stochastic variant where processing times of jobs are random variables, M\"ohring, Schulz, and Uetz (1999) presented the first and still best known approximation result achieving, for arbitrarily many machines, performance ratio $1+\frac12(1+\Delta)$, where $\Delta$ is an upper bound on the squared coefficient of variation of the processing times. We prove performance ratio $1+\frac12(\sqrt{2}-1)(1+\Delta)$ for the same underlying algorithm---the Weighted Shortest Expected Processing Time (WSEPT) rule. For the special case of deterministic scheduling (i.e., $\Delta=0$), our bound matches the tight performance ratio $\frac12(1+\sqrt{2})$ of this algorithm (WSPT rule), derived by Kawaguchi and Kyan in a 1986 landmark paper. We present several further improvements for WSEPT's performance ratio, one of them relying on a carefully refined analysis of WSPT yielding, for every fixed number of machines $m$, WSPT's exact performance ratio of order $\frac12(1+\sqrt{2})-O(1/m^2)$.

研究の動機と目的

• 重み付き完了時間の確率的並列マシンスケジューリングにおける定数要因近似アルゴリズムの欠如に対処する。
• 処理時間が確率的である設定下でのWSEPTルールの最良既知の性能比を向上させること。これは、以前は $1 + \frac{1}{2}(1 + \Delta)$ であった。
• 処理時間が有界な二乗変動係数 $\Delta$ を持つ確率的変数である場合に、決定的設定の Kawaguchi-Kyan 界を確率的ケースに一般化すること。
• 有限 $m$ に対して、WSEPT のより緊密なマシン依存の性能比を提供し、$m \to \infty$ のときには最適な決定的界に収束すること。
• 洗練されたインスタンスパrameterクラスの分析を通じて、有限 $m$ に対する正確な最悪ケース性能比を同定すること。

提案手法

• 長時間ジョブ $k_m$ 個と1つの短時間ジョブを含む、新たな最悪ケースインスタンス構築法を提案。$k_m = \left\lfloor \left(1 - \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)m \right\rfloor$ でパラメータ化される。
• 処理時間 $x$、長時間ジョブ数 $k$、マシン数 $m$ を変数とする性能比 $\lambda_m(x, k)$ を分析し、$x$ と $k$ について最適化する。
• 各 $m$ に対して最悪の $k$ を特定するための単変数関数 $\lambda''_m(k) = 1 + \frac{\sqrt{(2m - k)k - k}}{2m}$ を導出する。
• 最適な $k_m$ が区間 $[u_m - 1/2, u_m + 1/2]$ 内にあることを証明し、そこから凹型かつ一意性が保証されることを示す。
• $m \to \infty$ の極限において、複雑な場合分けを避けて、古典的な Kawaguchi-Kyan 界 $\frac{1}{2}(1 + \sqrt{2})$ を回復する。
• 有限 $m$ に対して、$1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{(2m - k_m)k_m - k_m}}{m}(1 + \Delta)$ の閉形式性能比を確立し、先行の境界を改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $m$ と有界な二乗変動係数 $\Delta$ を持つ確率的並列マシンスケジューリングにおいて、WSEPT ルールが達成可能な最も緊密な性能比は何か？
• RQ2 マシン数 $m$ が増加する際、WSEPT の性能比はどのように振る舞い、決定的 WSPT 界に収束するか？
• RQ3 決定的スケジューリングにおける古典的 Kawaguchi-Kyan 界を、処理時間が確率的である設定に一般化できるか？
• RQ4 固定された有限台数のマシン $m$ に対して、WSEPT の正確な最悪ケース性能比は何か？
• RQ5 $m$ が固定されており $\Delta$ が増加を許容される場合、WSEPT に対して $\Delta$ に依存しない定数性能比が存在するか？

主な発見

• WSEPT ルールは、$1 + \frac{1}{2}(\sqrt{2} - 1)(1 + \Delta)$ の性能比を達成し、以前の $1 + \frac{1}{2}(1 + \Delta)$ よりも厳密に優れている。
• 決定的スケジューリングの特殊ケース（$\Delta = 0$）では、新しい境界は $\frac{1}{2}(1 + \sqrt{2})$ に簡略化され、Kawaguchi と Kyan（1986）が得たタイトな決定的 WSPT 界と一致する。
• 性能比は $m \to \infty$ のとき、最適な決定的界 $\frac{1}{2}(1 + \sqrt{2})$ に $O(1/m^2)$ の収束速度で収束する。
• 任意の固定された $m$ に対して、WSEPT の正確な最悪ケース性能比は、$k_m = \left\lfloor \left(1 - \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)m \right\rfloor$ を用いて、$1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{(2m - k_m)k_m - k_m}}{m}(1 + \Delta)$ で与えられる。
• 本稿では、性能比が $k_m$ で最小化され、その値が $[u_m - 1/2, u_m + 1/2]$ の区間内にあることを示しており、導出された境界の最適性が保証される。