[論文レビュー] Generalizing the Splits Equivalence Theorem and Four Gamete Condition: Perfect Phylogeny on Three State Characters

Fumei Lam, Dan Gusfield+1 more|ArXiv.org|May 9, 2009

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Splits Equivalence Theorem および Four Gamete Condition を三状態のキャラクターに一般化し、三状態の配列集合に対して完全系統発生樹が存在するための必要十分条件として、任意の三キャラクターの部分集合が完全系統発生樹を許容するかどうかの条件を示している。主な貢献は、最小の障害集合の完全な特徴付けと、三状態データにおけるハイパーグラフに基づく不適合構造の導入であり、これにより、二値キャラクターの場合と同様のアルゴリズム的・理論的拡張が可能になる。

ABSTRACT

We study the perfect phylogeny problem and establish a generalization of the four gamete condition (also called the Splits Equivalence Theorem) for sequences over three state characters. Our main result is that a set of input sequences over three state characters allows a perfect phylogeny if and only if every subset of three characters allows a perfect phylogeny. In establishing these results, we prove fundamental structural features of the perfect phylogeny problem on three state characters and completely characterize the minimal obstruction sets that must occur in three state input sequences that do not have a perfect phylogeny. We further give a proof for a stated lower bound involved in the conjectured generalization of our main result to any number of states. The techniques are based on the chordal graph view of perfect phylogeny. Until this work, the notion of a conflict, or incompatibility, graph has been defined for two state characters only. Our generalization of the four gamete condition allows us to generalize the notion of incompatibility to three state characters. The resulting incompatibility structure is a hypergraph, which can be used to solve algorithmic and theoretical problems.

研究の動機と目的

• 完全系統発生樹問題における二値キャラクターから三状態キャラクターへの Splits Equivalence Theorem および Four Gamete Condition の拡張を図ること。
• 小さなキャラクター部分集合の局所的チェックのみを用いて、三状態配列に対して完全系統発生樹が存在するかどうかを特定すること。
• 三状態データにおける完全系統発生樹を妨げる最小の障害集合を特徴付けること。
• 二値キャラクターにのみ定義されていた不適合の概念を三状態キャラクターに拡張し、ハイパーグラフに基づく不適合構造を導入すること。
• 特にマイクロ/ミニ・ミニサテライトから得られる多状態遺伝的データを分析するための理論的・アルゴリズム的基盤を提供すること。

提案手法

• Four Gamete Condition を三状態キャラクターに一般化し、完全系統発生樹が存在するための必要十分条件として、任意の三キャラクターの組が完全系統発生樹を許容することを示す。
• ハイパーグラフに基づく不適合構造 C(S) を定義し、ハイパーエッジが互いに不適合なキャラクターのペアまたは三つ組を表すようにする。
• 最小の障害集合を、互いにペアワイズに適合するが、全体として不適合である三キャラクターの特定の構成として特徴付ける。
• 完全系統発生樹の存在が、入力データ内にこのような最小の障害集合が存在しないことと同値であることを証明する。
• 3-Hitting Set 問題を用いて三状態データのキャラクター削除問題をモデル化・解法とし、固定パラメータ可 tractability の結果を活用する。
• 二値キャラクターにおける「衝突グラフ」の概念を三状態キャラクターに一般化し、エッジが不適合なペアまたは三つ組に対応するハイパーグラフを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Splits Equivalence Theorem を三状態キャラクターに一般化できるか。すなわち、完全系統発生樹が存在するための必要十分条件として、すべての三キャラクター部分集合が完全系統発生樹を許容することであると示せるか？
• RQ2 三状態キャラクター・データにおける完全系統発生樹を妨げる最小の障害集合とは何か？
• RQ3 二値キャラクターにのみ定義されていた不適合の概念を、三状態キャラクターにどのように拡張できるか？
• RQ4 3-Hitting Set 問題は、三状態完全系統発生樹のキャラクター削除問題に適用可能か？
• RQ5 不適合ハイパーグラフ構造を用いて、三状態データにおける再結合イベントの下界や分解定理を導出できるか？

主な発見

• 三状態配列の集合に対して完全系統発生樹が存在するための必要十分条件は、すべての三キャラクター部分集合が完全系統発生樹を許容することである。
• 三状態データにおけるすべての最小障害集合は、互いにペアワイズに適合するが、全体として不適合である三キャラクターの組み合わせとして特徴付けられる。
• 三状態キャラクターの不適合構造はハイパーグラフとして形式化され、ハイパーエッジは不適合なペアまたは三つ組に対応する。
• 三状態データのキャラクター削除問題は、3-Hitting Set 問題への還元を用いることで固定パラメータ可 tractable である。
• 本稿では、r ≥ 4 に対する r 状態キャラクターへの主結果の一般化を支持する重要な下界を証明している。
• すべての三キャラクターの組をチェックするだけで、完全系統発生樹の存在を決定できることを示しており、三状態データにおける長年の未解決問題を解決した。