[論文レビュー] Generating All Maximal Induced Subgraphs for Hereditary, Connected-Hereditary and Rooted-Hereditary Properties

Sara Cohen, Yehoshua Sagiv|ArXiv.org|Oct 17, 2004

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、与えられたグラフにおける遺伝的性質、連結遺伝的性質、またはルート付き遺伝的性質を持つすべての極大部分グラフを効率的に生成する一般枠組みを提示する。一般問題を固定されたルートや頂点制約を持つ制限付き部分問題に還元することにより、インクリメンタル多項式時間、全多項式時間、またはP列挙可能時間の複雑さを用いた効率的な解法が可能となり、クリーク、独立集合、二部グラフなどの性質に対するアルゴリズム設計が著しく簡素化される。

ABSTRACT

The problem of computing all maximal induced subgraphs of a graph G that have a graph property P, also called the maximal P-subgraphs problem, is considered. This problem is studied for hereditary, connected-hereditary and rooted-hereditary graph properties. The maximal P-subgraphs problem is reduced to restricted versions of this problem by providing algorithms that solve the general problem, assuming that an algorithm for a restricted version is given. The complexity of the algorithms are analyzed in terms of total polynomial time, incremental polynomial time and the complexity class P-enumerable. The general results presented allow simple proofs that the maximal P-subgraphs problem can be solved efficiently (in terms of the input and output) for many different properties.

研究の動機と目的

• 大規模なグラフにおいて、与えられたグラフ性質Pを持つすべての極大部分グラフを生成する計算上の課題に対処すること。
• 一般の極大P部分グラフ問題を、アルゴリズム的に解きやすいより単純な制限付きバージョンに還元すること。
• 一般問題が全多項式時間、インクリメンタル多項式時間（PINC）、またはP列挙可能クラスに属する条件を確立すること。
• クリーク、独立集合、二部グラフなどのよく知られたグラフ性質に適用可能な統一的な枠組みを提供すること。
• 不完全情報の意味論に基づく最大クエリ回答の計算を含む、データベース分野における実用的応用を可能にすること。

提案手法

• 入力制限付きまたは頂点制限付きの変種、例えば固定頂点を含む極大P部分グラフを計算するなど、一般の極大P部分グラフ問題を制限付きのバージョンに還元する。
• 性質Pを維持しながら頂点を段階的に追加することで、極大部分グラフを逐次構築する再帰的アルゴリズムGenWithVertex⟨P⟩を用いる。
• 頂点処理の順序を慎重に制御することで、インクリメンタル出力を保証するように、アルゴリズムGenHered⟨P⟩をルート付き遺伝的性質および連結遺伝的性質に対応させる。
• 制限付き問題が多項式時間で解けるならば、一般問題がPINCやP列挙可能状態といった複雑さの保証を継承できることを活用する。
• 再帰中に新しい極大部分グラフを追跡・出力するためのスタックベースのメカニズム（Stack2）を導入し、インクリメンタルな出力生成を可能にする。
• 制限付きの簡単なケースに還元することで、二部グラフやスターモデルの性質など、特定の性質の複雑さの結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遺伝的性質Pを持つすべての極大部分グラフを効率的に生成できる条件は何か？
• RQ2 極大P部分グラフ問題は、どのようにより単純で制限付きの部分問題に還元できるか？
• RQ3 制限付きバージョンから、全多項式時間、インクリメンタル多項式時間、P列挙可能といった複雑さの保証をどのように継承できるか？
• RQ4 本枠組みは、不完全情報を持つデータベースにおけるクエリ回答といった実用的問題に適用可能か？
• RQ5 遺伝的性質、連結遺伝的性質、またはルート付き遺伝的性質のどのクラスにおいて、極大P部分グラフ問題がPINCまたはP列挙可能に保証されるか？

主な発見

• 入力グラフが無閉路である場合、ルート付き遺伝的性質Pに対する極大P部分グラフ問題はP列挙可能である。また、元の無向グラフが木である場合、連結遺伝的性質Pに対する同様の問題もP列挙可能である。
• 入力制限付きバージョンの問題が多項式時間で解けるならば、極大P部分グラフ問題はインクリメンタル多項式時間（PINC）で解ける。
• 極大「二部グラフ」部分グラフ問題は全多項式時間で解けるようになり、従来の結果を改善する。
• 本枠組みにより、独立集合、スターモデル、クリークなどの性質に対する極大部分グラフの効率的計算が可能となり、それらがより単純な制限付き部分問題に還元される。
• 同じ複雑さの仮定のもとで、任意の定数kについて最初のk個の極大部分グラフを多項式時間で返すことが可能である。
• 結果はデータベース応用へと拡張され、不完全データにおける完全論理和の意味論がルート付き遺伝的性質としてモデル化され、効率的に計算可能であることが示された。