[論文レビュー] Generating and ranking of Dyck words

Zoltán Kása|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、カタラン数で数えられる組み合わせ論的構造であるDyck語の生成、ランク付け、アンランク付けのための効率的なアルゴリズムを提示している。1の位置に基づく2進文字列の符号化を用い、再帰的および反復的生成法、格子パスの数え上げに基づくランク関数、動的計画法を用いたアンランク付けを導入している。主な貢献は、ランク付け論理から導かれた、カタラン数の新しい再帰的公式である。

ABSTRACT

A new algorithm to generate all Dyck words is presented, which is used in ranking and unranking Dyck words. We emphasize the importance of using Dyck words in encoding objects related to Catalan numbers. As a consequence of formulas used in the ranking algorithm we can obtain a recursive formula for the nth Catalan number.

研究の動機と目的

• 語の長さが $n$ のすべてのDyck語を辞書式および逆辞書式順序で生成する実用的なアルゴリズムを開発すること。
• Dyck語の2進文字列表記における1の位置に基づいて、ランク付けとアンランク付けのメカニズムを提供すること。
• Dyck語のランク付けと格子パスの数え上げとの関連を確立し、カタラン数の新しい再帰的公式を導出すること。
• Dyck語が二分木などの組み合わせ的対象を符号化するのに有効であることを示し、明示的な符号化および復号アルゴリズムを提示すること。

提案手法

• 0と1のカウントとバランス制約を状態として追跡する再帰的バックトラッキングを用いた辞書式順序でのDyck語の生成。
• 1の有効な位置を反復的に探索する位置ベースのアルゴリズムを用い、境界 $2i \leq b_i \leq n+i$ を満たすことでDyck性を保証する。
• 常に左から最初に現れる '10' を '01' に置き換えることで、逆辞書式順序での次のDyck語を生成する。
• $(0,0)$ から $(i,j)$ への単調な格子パスの数を数える関数 $f(i,j)$ を用い、パス数の和を計算することでDyck語のランクを決定する。
• ランク付けの逆プロセスとして、ターゲットのランクに達するまで1の位置を段階的に増加させながらパス数を差し引くことで、Dyck語をアンランクする。
• 左部分木のみ、右部分木のみ、両方の部分木、右部分木の継続をそれぞれ '01'、'10'、'00'、'11' として追加する再帰的走査により、二分木をDyck語に符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 語の長さが $n$ のすべてのDyck語を、辞書式および逆辞書式順序で体系的に生成する方法は何か？
• RQ2 与えられたDyck語を辞書式順序リストにおける一意のランクに割り当てる効率的な方法は何か？
• RQ3 ランクからDyck語を再構成できる逆プロセス（アンランク）を構築できるか？
• RQ4 ランク関数を用いて、$n$ 番目のカタラン数の新しい再帰的公式を導出できるか？
• RQ5 Dyck語は、二分木などの組み合わせ的構造の符号化・復号に果たす役割は何か？

主な発見

• 1の位置を変更するアルゴリズムは、$n=4$ の場合に14個のDyck語をすべて逆辞書式順序で生成する。
• ランクアルゴリズムは、パス数 $f(n-i, n+i-j)$ の和を計算することでDyck語のランクを算出する。例として $b = 4,5,8,9,10$ の場合、ランクは33となる。
• アンランクアルゴリズムは、$n=6$ の場合にランク93に対応するDyck語を正常に再構成でき、その位置は $b = 4,5,7,9,11,12$ となる。
• $(n+1)$ 番目のカタラン数の新しい再帰的公式が導出された：$C_{n+1} = 1 + \sum_{k \geq 0} (-1)^k \binom{n-k}{k+1} C_{n-k}$。
• Dyck語を用いた二分木の符号化および復号アルゴリズムは正しく、一対一対応である。各木構造に対して一意のDyck語が生成される。
• ランク計算に用いられる関数 $f(i,j)$ は再帰的関係を満たしており、効率的な計算が可能であり、カタラン数の公式導出の基盤となっている。