[論文レビュー] Generating correlated random vector by polynomial normal transformation

Qing Xiao|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2015

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、標準正規変数を変換することで相関のある非正規乱数ベクトルを生成する高次多項式正規変換（PNT）モデルを提案する。確率加重モーメント（PWM）マッチングとパーセンタイルマッチングを導入し、多項式係数を効率的に推定することで、複雑な分布の正確なシミュレーションと、導出された多項式方程式による同等正規空間相関係数の正確な相関構造保持が可能になる。

ABSTRACT

This paper develops a polynomial normal transformation model, whereby various non-normal probability distributions can be simulated by the standard normal distribution. Two methods are presented to determine the coefficients of polynomial model: (1) probability weighted moment (PWM) matching (2) percentile matching. Compared to the existing raw moment or L-moment matching, the proposed methods are more computationally convenient, and can be used to estimate the coefficients of polynomial model with a higher degree. Furthermore, for two correlated random variables, a polynomial equation is derived to estimate the equivalent correlation coefficient in standard normal space, and random vector with non-normal marginal distributions and prescribed correlation matrix can be generated. Finally, numerical examples are worked to demonstrate the proposed method.

研究の動機と目的

• 既存の3次または5次手法を超える広範な非正規分布をシミュレートできる柔軟な多項式正規変換モデルの開発。
• 高次多項式モデルにおける計算複雑性を低減するため、確率加重モーメント（PWM）マッチングとパーセンタイルマッチングを導入し、既存のモーメントマッチング手法の計算負荷を軽減。
• 任意の非正規周辺分布と所望の相関行列を持つ相関のある乱数ベクトルの正確な生成。
• 元の空間における所望の相関と同等の正規空間相関係数 ρ_z を関連付ける解析的多項式方程式の導出。

提案手法

• 多項式正規変換モデルは、非正規乱数変数 X を標準正規変数 Z の多項式関数として表現する：X ≈ Σ aₖZᵏ（k = 0 から n まで）。
• 係数 aₖ は、2つの新規手法を用いて決定される：(1) PWMマッチングは、多項式モデルのPWMを対象分布のものと一致させ、線形方程式系を形成する。また (2) パーセンタイルマッチングは、経験的パーセンタイルを最小二乗法で一致させる。
• 相関のある変数に対しては、元の空間における所望の相関 ρₓ と同等の正規空間相関係数 ρ_z を結ぶ多項式方程式を、積モーメントの公式を用いて導出する。
• 本手法はワイエルシュトラス近似定理を活用しており、閉区間上で単調なCDF変換 F⁻¹[Φ(Z)] が多項式で良好に近似可能であることを保証する。
• 従来の原始モーメントまたはLモーメントマッチングとは異なり、高次多項式では複雑な非線形方程式系を解く必要がなく、計算が容易になる。
• 相関構造は、まず導出された多項式方程式により必要な ρ_z を計算し、その相関を持つ標準正規乱数を生成した後、逆CDF変換を適用することで保持される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次多項式正規変換のための係数推定に、確率加重モーメント（PWM）を効率的に用いることができるか？
• RQ2 非正規分布のシミュレーションにおいて、パーセンタイルマッチングはPWMマッチングと比較して、精度と計算可能性の面でどのように異なるか？
• RQ3 2つの非正規変数間の所望の相関 ρₓ に対して、同等の正規空間相関係数 ρ_z を推定する閉形式の多項式方程式を導出できるか？
• RQ4 本手法は、既存のTPNTやFPNT技術と比較して、どれほど高い統計的忠実性で複雑な非正規分布をシミュレートできるか？

主な発見

• PWMマッチング手法により、多項式係数の推定が効率的かつ線形方程式系に基づくものとなり、特に高次多項式では非線形原始モーメントやLモーメントマッチングよりも計算的に優れている。
• パーセンタイルマッチング手法は、高い精度を有する代替手法であり、数値的検証により妥当性が確認されており、解析的モーメントが計算しにくい場合に特に有用である。
• ρ_z を求めるための導出された多項式方程式により、必要な正規空間相関係数を正確に特定でき、生成された乱数ベクトルが所望の相関行列と一致することが保証される。
• 数値例では、生成されたサンプルのシミュレート相関行列 Rₓ* が、所望の行列 Rₓ に非常に近いことが示された。具体的には、Rₓ = [1.000, 0.900, 0.500; 0.900, 1.000, 0.300; 0.500, 0.300, 1.000] の場合、Rₓ* = [1.000, 0.900, 0.499; 0.900, 1.000, 0.300; 0.499, 0.300, 1.000] が得られた。
• 本手法は、所望の非正規周辺分布と与えられた相関行列を持つ多変量乱数ベクトルを、高い正確性と一般性をもって生成できることを示した。