[論文レビュー] Generating functions for the Bernstein polynomials: A unified approach to deriving identities for the Bernstein basis functions

Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2010

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ベルンシュタイン多項式の恒等式および性質の導出を統一するための新規生成関数を導入し、再帰的定義および微分公式の新たな証明を可能にする。主な貢献は、ベルンシュタイン基底関数の点ごとの直交性関係と、生成関数の関数的・微分方程式を用いたポアソン分布および二項分布を介したサシャーズ＝ミラクジャン基底関数の一般化である。

ABSTRACT

The main aim of this paper is to provide a unified approach to deriving identities for the Bernstein polynomials using a novel generating function. We derive various functional equations and differential equations using this generating function. Using these equations, we give new proofs both for a recursive definition of the Bernstein basis functions and for derivatives of the nth degree Bernstein polynomials. We also find some new identities and properties for the Bernstein basis functions. Furthermore, we discuss analytic representations for the generalized Bernstein polynomials through the binomial or Newton distribution and Poisson distribution with mean and variance. Using this novel generating function, we also derive an identity which represents a pointwise orthogonality relation for the Bernstein basis functions. Finally, by using the mean and the variance, we generalize Szasz-Mirakjan type basis functions.

研究の動機と目的

• 新規の生成関数を用いてベルンシュタイン基底関数の恒等式および性質を統一的に導出するためのアプローチを開発すること。
• 関数的および微分方程式を用いてベルンシュタイン多項式の再帰的定義および微分公式に対する新たな証明を提供すること。
• 一般化された生成関数フレームワークを用いて、ベルンシュタイン基底関数の点ごとの直交性関係を確立すること。
• ベルンシュタイン基底関数と二項分布およびポアソン分布を結びつけることで、解析的表現および一般化を可能にすること。
• 生成関数から導かれる平均および分散パラメータを用いて、サシャーズ＝ミラクジャン型基底関数を一般化すること。

提案手法

• パラメータ $a$, $b$, $m$ および変数 $x$ を含む新規のベルンシュタイン基底関数の生成関数を $[a,b]$ 上で定義する。
• 生成関数から関数的および微分方程式を導出し、基底関数の性質を分析する。
• アベルとリー（2005）の命題1を生成関数に適用し、ベルンシュタインおよびサシャーズ＝ミラクジャン基底関数の点ごとの直交性関係を導出する。
• 二項分布に生成関数を関連付けるために $\mathbb{Y}_k^n(x;a,b,n) = \binom{n}{k}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^k\left(\frac{b-x}{b-a}\right)^{n-k}$ と設定する。
• 極限 $n \to \infty$ をとることでサシャーズ＝ミラクジャン基底関数を一般化し、ポアソン分布が得られ、$f_i(x,n;a,b) = \frac{(n\frac{x-a}{b-a})^i e^{-n\frac{x-a}{b-a}}}{i!}$ が得られる。
• $A_t(x) = \exp\left((t-1)n\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\right)$ を用いて一般化されたサシャーズ＝ミラクジャン関数を生成し、$w_k = \frac{1}{n^k k!}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^k$ を用いて直交性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統一的な生成関数アプローチは、ベルンシュタイン基底関数の恒等式の導出をどのように簡素化できるか？
• RQ2 提案された生成関数から生じる関数的および微分方程式は何か？ そしてそれらは既知の性質に対する新たな証明をどのように得るか？
• RQ3 新規の生成関数フレームワークを用いて、ベルンシュタイン基底関数の点ごとの直交性関係を導出できるか？
• RQ4 二項分布およびポアソン分布は、一般化されたベルンシュタイン多項式の解析的表現とどのように関係するか？
• RQ5 生成関数から導かれる平均および分散を用いて、サシャーズ＝ミラクジャン基底関数を一般化できるか？

主な発見

• 生成関数 $f_{\mathbb{Y},k}(x,t;a,b,m) = \frac{t^k (x-a)^k e^{(b-x)t}}{(b-a)^m k!}$ が導出され、$\sum_{n=0}^\infty \mathbb{Y}_k^n(x;a,b,m) \frac{t^n}{n!}$ を通じて $\mathbb{Y}_k^n(x;a,b,m)$ を生成する。
• 生成関数は、その構造から関数方程式を導出し、ベルンシュタイン基底関数の再帰的定義に対する新たな証明を提供する。
• 生成関数の微分方程式を用いて、$n$ 次ベルンシュタイン多項式の導関数に関する二項式の公式が導出される。
• 点ごとの直交性関係が確立される：$\sum_{k=0}^\infty w_k \mathcal{D}^k f_i(x) \mathcal{D}^k f_j(x) = \delta_{i,j} f_i(x)$、ここで $w_k = \mathbb{Y}_k^n(x;a,b,n)$ であり、命題1を用いる。
• 一般化されたサシャーズ＝ミラクジャン基底関数は $f_i(x,n;a,b) = \frac{(n\frac{x-a}{b-a})^i e^{-n\frac{x-a}{b-a}}}{i!}$ として定義され、$A_t(x) = \exp\left((t-1)n\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\right)$ を用いて生成される。
• 二項分布 $\mathbb{Y}_k^n(x;a,b,n)$ の極限 $n \to \infty$ は、$\mu = n\frac{x-a}{b-a}$ であるポアソン分布 $\frac{\mu^k e^{-\mu}}{k!}$ を与え、基底関数の一般化を可能にする。