[論文レビュー] Generating functions for Wilf equivalence under generalized factor order

Thomas Langley, Jeffrey Liese+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2010

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正の整数からなる語の一般化された要因順序におけるウィルフ同値性の明示的生成関数を、弱く非減少の後に弱く非増加の列が続く語 $ u $ に対して開発する。特に、生成関数 $ S(u;t,x) $ に注目し、$ S(u;t,x) $ の公式を導出し、長さ3の語のすべてのウィルフ同値性を分類するとともに、係数が既知の組合せ論的数列に対応することを示す。主な貢献は、生成関数を用いたウィルフ同値性の構造的特徴付けと、小規模な場合における再配列予想の検証である。

ABSTRACT

Kitaev, Liese, Remmel, and Sagan recently defined generalized factor order on words comprised of letters from a partially ordered set $(P, \leq_P)$ by setting $u \leq_P w$ if there is a subword $v$ of $w$ of the same length as $u$ such that the $i$-th character of $v$ is greater than or equal to the $i$-th character of $u$ for all $i$. This subword $v$ is called an embedding of $u$ into $w$. For the case where $P$ is the positive integers with the usual ordering, they defined the weight of a word $w = w_1\ldots w_n$ to be $ ext{wt}(w) = x^{\sum_{i=1}^n w_i} t^{n}$, and the corresponding weight generating function $F(u;t,x) = \sum_{w \geq_P u} ext{wt}(w)$. They then defined two words $u$ and $v$ to be Wilf equivalent, denoted $u \backsim v$, if and only if $F(u;t,x) = F(v;t,x)$. They also defined the related generating function $S(u;t,x) = \sum_{w \in \mathcal{S}(u)} ext{wt}(w)$ where $\mathcal{S}(u)$ is the set of all words $w$ such that the only embedding of $u$ into $w$ is a suffix of $w$, and showed that $u \backsim v$ if and only if $S(u;t,x) = S(v;t,x)$. We continue this study by giving an explicit formula for $S(u;t,x)$ if $u$ factors into a weakly increasing word followed by a weakly decreasing word. We use this formula as an aid to classify Wilf equivalence for all words of length 3. We also show that coefficients of related generating functions are well-known sequences in several special cases. Finally, we discuss a conjecture that if $u \backsim v$ then $u$ and $v$ must be rearrangements, and the stronger conjecture that there also must be a weight-preserving bijection $f: \mathcal{S}(u) ightarrow \mathcal{S}(v)$ such that $f(u)$ is a rearrangement of $u$ for all $u$.

研究の動機と目的

• 弱く非減少の後に弱く非増加の列が続く語 $ u $ に対して、生成関数 $ S(u;t,x) $ の明示的公式を導出すること。
• この公式を用いて、一般化された要因順序におけるすべての長さ3の語のウィルフ同値性を分類すること。
• 関連する生成関数の係数が特別な場合に既知の組合せ論的数列に対応することを示すこと。
• ウィルフ同値な語は互いに再配列である必要があるという予想および、$ \mathcal{S}(u) $ と $ \mathcal{S}(v) $ 間に重みを保存する同一写像が存在するというより強い予想を検討すること。

提案手法

• 弱く非減少および弱く非増加の列の連結である $ u $ に対して、$ S(u;t,x) $ の閉形式表現を導出すること。
• $ F(u;t,x) = S(u;t,x) \cdot \frac{1-x}{1-x-tx} $ の関係を用いて $ F(u;t,x) $ と $ S(u;t,x) $ を関連づけ、生成関数の有理性を活用すること。
• $ \mathcal{S}(u) = \mathcal{A}(u)\mathcal{W}(u) \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} \mathcal{S}^{(i)}(u) $ の分解を用いて、$ S(u;t,x) $ を再帰的に表現すること。
• $ S(u;x_1,\ldots,x_m) $ の精密化された生成関数を有限アルファベット $[m]$ 上で用い、$ n \leq 5 $ に対して再配列予想を計算的に検証すること。
• $ u $ が弱く非減少である場合、$ S(u;x_1,\ldots,x_m) $ が積の和 $ \sum_{j=u_i}^m x_j $ を含む有理関数方程式を満たすことを示すこと。
• オートマトン構成と重みを保存する写像を活用して、埋め込みの一意性と同値性を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱く非減少の後に弱く非増加の列が続く語 $ u $ に対して、$ S(u;t,x) $ の明示的公式を導出できるか？
• RQ2 一般化された要因順序における長さ3の語の中で、どの語がウィルフ同値か？
• RQ3 $ S(u;t,x) $ や関連生成関数の係数が既知の組合せ論的数列に対応するか？
• RQ4 $ u \backsim v $ ならば、$ u $ と $ v $ は互いに再配列でなければならないか？
• RQ5 $ f: \mathcal{S}(u) \to \mathcal{S}(v) $ が重みを保存する同一写像であり、$ f(u) $ が $ u $ の再配列であるようなものが存在するか？

主な発見

• 弱く非減少の後に弱く非増加の列が続く語 $ u $ に対して、$ S(u;t,x) $ の明示的有理生成関数公式が導出された。
• 導出された $ S(u;t,x) $ の公式を用いて、長さ3の語のすべてのウィルフ同値類が分類された。
• 特殊な場合における $ S(u;t,x) $ の係数は、合成や格子路に関連する既知の組合せ論的数列に対応する。
• 計算による検証により、すべての長さ $ n \leq 5 $ の置換について再配列予想が成立することが確認された。
• 弱く非減少の語 $ u $ に対して、$ S(u;x_1,\ldots,x_m) $ の閉形式表現が、積の和 $ \sum_{j=u_i}^m x_j $ を用いて確立された。
• より強い予想 — すなわち、重みを保存する同一写像 $ f: \mathcal{S}(u) \to \mathcal{S}(v) $ が存在し、$ f(u) $ が $ u $ の再配列である — は、$ n \leq 5 $ における計算により支持された。