[論文レビュー] Generating Functions in $\mathbb{R}^{2n}$ and the Hatcher-Waldhausen map

Thomas Kragh|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクト集合の外でコンパクト集合の外でゼロ切断と一致する ℝ²ⁿ 内の正確ラグラングィアンに対して、無限大で二次的な生成族を構成し、そのような族の空間 ℳ∞ がハッチャ―＝ヴァルトハイゼン写像のホモトピー・ファイバーであることを確立する。これにより、ℳ∞ が空間の代数的 K 理論の幾何的モデルであることが特定され、ボクステッドの有理ホモトピー同値性結果を用いて、安定ラグラングィアン・ガウス写像がホモトピー的に自明であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we construct a generating function quadratic at infinity for any exact Lagrangian in $\mathbb R^{2n}$ equal to $\mathbb R^n$ outside a compact set. This type of Lagrangian is equivalent to a Lagrangian filling in $D^{2n}$ of the standard Legendrian unknot $S^{n-1}$. Generating functions of the type we construct are related to the space $\mathcal M_\infty$ considered by Eliashberg and Gromov. We also show that $\mathcal M_\infty$ is the homotopy fiber of the so-called Hatcher-Waldhausen map. This further relates the understanding of exact Lagrangians (and Legendrians) to algebraic K-theory of spaces. As a result of this and the result by Bökstedt that the Hatcher-Waldhausen map is a rational homotopy equivalence we prove that the stable Lagrangian Gauss map (relative boundary) of the Lagrangian is homotopy trivial.

研究の動機と目的

• コンパクト集合の外でゼロ切断と一致する任意の ℝ²ⁿ 内の正確ラグラングィアンに対して、無限大で二次的な生成族を構成すること。
• このような生成族の空間 ℳ∞ をハッチャ―＝ヴァルトハイゼン写像に関連づけ、それがこの写像の幾何的モデルであることを示すこと。
• ℳ∞ とハッチャ―＝ヴァルトハイゼン写像を含むファイブレーション系列を用いて、正確ラグラングィアンに新たな位相的制約を導出すること。
• ボクステッドの結果（ハッチャ―＝ヴァルトハイゼン写像が有理ホモトピー同値である）を用いて、このようなラグラングィアンの安定ラグラングィアン・ガウス写像がホモトピー的に自明であることを確立すること。

提案手法

• チャペロンの破れた測地線アプローチを用いて、ゼロ切断 ℝⁿ ⊂ ℝ²ⁿ から与えられたラグラングィアン L を含むラグラングィアン K へのハミルトニアン・アイソトピーを構成する。
• 先行研究により拡張されたコタングェントバンドルへの応用において、K が無限大で二次的な生成族を備えているという事実を用いる。
• リウヴィル形式の生成関数のファイバーごとの正則値に依存するカットアンドペースト論法を用いて、L のための生成族を構成する。
• ℳ∞ を、ℝ²ᵏ 上の関数で無限大で標準的二次形式 Q に一致し、非退化臨界点が一つであるような空間 ℳk,k の極限として定義する。
• アイソトピー拡張とチューブ型近傍のドリリングを用いた構成により、ℳ∞ がハッチャ―＝ヴァルトハイゼン写像のホモトピー・ファイバーであることを確立する。
• イグーザのコボルディズム埋め込みの高次連結性に関する定理と J-同型写像を用いて、ℳ∞ のホモトピー型を F/O と BO に関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト集合の外でゼロ切断と一致する ℝ²ⁿ 内の任意の正確ラグラングィアンは、無限大で二次的な生成族を備えているか？
• RQ2 このような生成族の空間 ℳ∞ のホモトピー論的意味は何か？
• RQ3 ハッチャ―＝ヴァルトハイゼン写像は、生成族の幾何と正確ラグラングィアンの幾何とどのように関係しているか？
• RQ4 境界を固定した状態で、ラグラングィアンがゼロ切断へのハミルトニアン・アイソトピーに同値でない場合、どのような位相的障害が生じるか？
• RQ5 このようなラグラングィアンの安定ラグラングィアン・ガウス写像はホモトピー的に自明であるか？ もしそうなら、その理由は何か？

主な発見

• 境界近辺でゼロ切断と一致する T*𝐷ⁿ 内の任意の正確ラグラングィアンは、無限大で二次的な生成族を備える。
• 空間 ℳ∞ はハッチャ―＝ヴァルトハイゼン写像のホモトピー・ファイバーであり、この代数的 K 理論写像の幾何的モデルを提供する。
• ボクステッドの結果により、ハッチャ―＝ヴァルトハイゼン写像は有理ホモトピー同値であるため、ℳ∞ → F/O → BO の合成写像はホモトピー群上で有理的に自明である。
• このようなラグラングィアンの相対的無限大における安定ラグラングィアン・ガウス写像はホモトピー的に自明である。これは、有理的に自明な合成を通じて因数分解されるからである。
• 生成族の構成は、カットアンドペースト過程におけるリウヴィル形式の生成関数のファイバーごとの正則値による制御に依存する。
• ℳ∞ とハッチャ―＝ヴァルトハイゼン写像を含むファイブレーション系列により、境界写像 ℳ∞ に拡張できない場合には、ゼロ切断へのハミルトニアン・アイソトピーに対する新たな障害が得られる。