[論文レビュー] Generating Mapping Class Groups by Involutions

Martin Kassabov|ArXiv.org|Nov 25, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、$g \geq 3$ の genus を持つ曲面に $b$ 個の穴が空いている場合、その写像類群が一様に有界な数の対合（2階元）によって生成可能であることを証明している。特に、大規模な genus および偶数個の穴の場合は最小で4つの対合で十分であり、最も複雑なケース（genus 3、奇数個の穴）では9つの対合が上限として確立されている。著者らは、対称的な対合とランタン関係を用いて明示的な生成集合を構成し、先行研究を拡張した。

ABSTRACT

Let $Σ_{g,b}$ denote a closed oriented surface genus $g$ with $b$ punctures and let $Mod_{g,b}$ denote its mapping class group. Luo proved that if the genus is at least 3, the group $Mod_{g,b}$ is generated by involutions. He also asked if there exists a universal upper bound, independent of genus and the number of punctures, for the number of torsion elements/involutions needed to generate $Mod_{g,b}$. Brendle and Farb gave a partial answer in the case of closed surfaces and surfaces with one puncture, by describing a generating set consisting of 7 involutions. Our main result generalizes the above result to the case of multiple punctures. We also show that the mapping class group can be generated by smaller number of involutions. More precisely, we prove that the mapping class group can be generated by 4 involutions if the genus $g$ is large enough. There is not a lot room to improve this bound because to generate this group we need at lest 3 involutions. In the case of small genus (but at least 3) to generate the whole mapping class group we need a few more involutions.

研究の動機と目的

• 写像類群を生成するのに必要なねじれ元の数に、$g$ や $b$ に依存しない普遍的な上界が存在するか、というルオの未解決問題を解消すること。
• ブレンドルとファーブが閉曲面および1個の穴がある曲面に対して7つの対合で生成可能であることを示した結果を、複数の穴がある曲面へ一般化すること。
• ${\rm Mod}_{g,b}$ を生成するのに必要な対合の数を最小化すること、特に大規模な genus およびさまざまな穴の個数に対して最適化すること。
• 生成に必要な対合の最小数に対する鋭い上限を確立し、3が理論的最小値であることを示し、$g > 7$ の場合に4が達成可能であることを示すこと。
• ${\rm Mod}^{0}_{g,b}$（穴が点ごとに固定される部分群）が対合によって生成可能となる条件を調査すること、特に $b \leq 2(g-2)$ の場合に注目すること。

提案手法

• 8個の境界成分を持つ基本的な曲面 $S_4$ を構成し、対称的対合 $I$ と $R$ を用いて、共役作用によりディーンツイストを生成する。
• ペア・オブ・パンツを貼り付けることで曲面を拡張し、$S_5$ を得る。その後、$I$ を $S_5$ に拡張し、残りの曲面 $S_6$（genus $g-7$）上で新たな対合 $\tilde{I}$ を定義する。
• $I$ と $\tilde{I}$ を貼り合わせて、全体の曲面 $\Sigma_{g,b}$ 上で対称的対合として作用するグローバルな対合 $J$ を構成する。
• $\rho_1$, $\rho_2$, $\rho_3$, および $J$ が生成する群を用い、群作用による軌道の閉包を用いて、すべての本質的曲線まわりのディーンツイストを生成する。
• 補題12を適用し、生成された群が ${\rm Mod}^0_{g,b}$ を含むことを示し、${\rm Sym}_b$ への商写像による像を用いて、それが全 ${\rm Mod}_{g,b}$ に一致することを結論づける。
• genus 3 かつ $b$ が奇数の場合、ペア交換対合が拡張できないため、$\rho_1$, $\rho_2$ に加え、追加の対合を用いて必要となるツイストを生成する。この場合、9つの対合を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\rm Mod}_{g,b}$ を生成するのに必要な対合の数に、$g$ や $b$ に依存しない普遍的な上界が存在するか？
• RQ2 ブレンドルとファーブが $b \leq 1$ の場合に7つの対合で生成可能であると示した結果を、$b \leq 1$ を超える場合に下回る生成集合へ縮小可能か？
• RQ3 ${\rm Mod}_{g,b}$ を生成するのに必要な対合の最小数は、$g \geq 3$ かつ任意の $b$ に対してどのように決まるか？
• RQ4 ${\rm Mod}^0_{g,b}$（穴が点ごとに固定される部分群）が対合によって生成可能となる $g$ と $b$ の値は何か？
• RQ5 genus 3 かつ $b$ が奇数の場合に9つの対合が必要であるという上限を改善できるか、あるいはこれが最適であるか？

主な発見

• ${\rm Mod}_{g,b}$ は、$g > 7$ または $g = 7$ かつ $b$ が偶数のとき、4つの対合によって生成可能である。
• $g > 5$ または $g = 5$ かつ $b$ が偶数のとき、5つの対合によって生成可能である。
• $g > 3$ または $g = 3$ かつ $b$ が偶数のとき、6つの対合で十分に生成可能である。
• $g = 3$ かつ $b$ が奇数のとき、9つの対合が必要であり、これは確立された最大の上限である。
• 大規模な $g$ に対して4つの対合が最適である。なぜなら、2つの対合では二面体群しか生成できないため、少なくとも3つは必要だからである。
• この構成は、向きを反転する対合を用いて拡張写像類群へ一般化可能であり、同じ上限が保たれる。