[論文レビュー] Generating Matrix Identities and Proof Complexity

Fu Li, Iddo Tzameret|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限体上の行列恒等式を証明するための算術証明系の階層を導入し、$d \times d$ 行列恒等式に対して、変数 $n$ を用いて、証明サイズに $Ω(n^{2d})$ の無条件下界を確立する。非可換代数と多項式恒等式理論を活用して、強力な証明系のための難しい例を構築し、証明複雑性の下界を理解する新たな道筋を提示する。

ABSTRACT

Motivated by the fundamental lower bounds questions in proof complexity, we initiate the study of matrix identities as hard instances for strong proof systems. A matrix identity of $d imes d$ matrices over a field $\mathbb{F}$, is a non-commutative polynomial $f(x_1,\ldots,x_n)$ over $\mathbb{F}$ such that $f$ vanishes on every $d imes d$ matrix assignment to its variables. We focus on arithmetic proofs, which are proofs of polynomial identities operating with arithmetic circuits and whose axioms are the polynomial-ring axioms (these proofs serve as an algebraic analogue of the Extended Frege propositional proof system; and over $GF(2)$ they constitute formally a sub-system of Extended Frege [HT12]). We introduce a decreasing in strength hierarchy of proof systems within arithmetic proofs, in which the $d$th level is a sound and complete proof system for proving $d imes d$ matrix identities (over a given field). For each level $d>2$ in the hierarchy, we establish a proof-size lower bound in terms of the number of variables in the matrix identity proved: we show the existence of a family of matrix identities $f_n$ with $n$ variables, such that any proof of $f_n=0$ requires $Ω(n^{2d})$ number of lines. The lower bound argument uses fundamental results from the theory of algebras with polynomial identities together with a generalization of the arguments in [Hru11]. We then set out to study matrix identities as hard instances for (full) arithmetic proofs. We present two conjectures, one about non-commutative arithmetic circuit complexity and the other about proof complexity, under which up to exponential-size lower bounds on arithmetic proofs (in terms of the arithmetic circuit size of the identities proved) hold. Finally, we discuss the applicability of our approach to strong propositional proof systems such as Extended Frege.

研究の動機と目的

• 有限体 $\mathbb{F}$ 上の $d \times d$ 行列恒等式のための、整合的かつ完全な証明系の階層を構築すること。$d$ が増加するにつれて、その強度が向上する。
• 特に変数 $n$ の観点から、行列恒等式の算術的証明の証明サイズに、無条件の下界を確立すること。
• 行列恒等式が、拡張フレージ（Extended Frege）のような強力な証明系のための難しい例として機能できるかどうかを、回路複雑性と証明複雑性の文脈で探求すること。
• 非可換算術回路複雑性と証明複雑性の間の関係を、行列恒等式を通じて調査し、指数的サイズの下界を得ることを目的とする。

提案手法

• 証明系の強度が減少する階層を導入し、$d$ 階層目は $d \times d$ 行列恒等式の証明に完全である。
• 多項式恒等式理論における代数の基本的結果を用いて、行列恒等式を生成するために必要な最小生成元の数を分析する。
• 文献[7]の議論の一般化版を適用し、行列恒等式の構造に基づいて証明サイズの下界を導出する。
• 行列恒等式が顕著なキャンセル性を示し、可換多項式に類似していることを利用し、証明複雑性を分析する。
• $n$ 個の変数を持つ恒等式の族 $f_n$ を構築し、$f_n = 0$ の証明には $\Omega(n^{2d})$ 行の証明が必要であることを示す。
• 特定の難しい恒等式族に対して小さな証明を除外するために、$Q$-測度と非代入不変性の概念に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列恒等式は、特に算術的証明の文脈において、拡張フレージのような強力な証明系の難しい例として機能できるか？
• RQ2 $n$ 個の変数を含む $d \times d$ 行列恒等式を証明するために必要な最小の行数は何か？ そして、これは $\Omega(n^{2d})$ で下から抑えられるか？
• RQ3 多項式の $Q$-測度とその回路複雑性の間に、特にその多項式が行列恒等式である場合に、関係があるか？
• RQ4 非可換回路複雑性における妥当な予想を仮定すれば、行列恒等式の証明複雑性を用いて、算術的証明の指数的下界を導けるか？
• RQ5 サイズが小さいが $Q$-測度が高い行列恒等式の族は存在するか？ これは本質的な証明複雑性を示唆するか？

主な発見

• $d \times d$ 行列恒等式の証明に、非可換代数的技法を用いて、$n$ 個の変数を含む場合に $\Omega(n^{2d})$ の無条件の証明サイズ下界を確立した。
• 本稿では、行列恒等式を生成するために必要な最小生成元の数が $d$ とともに増加する関数で下から抑えられることを証明した。これは、多項式恒等式理論において独立に興味深い結果である。
• ${\rm Mat}_d(\mathbb{F})$ 上の行列恒等式が非常に構造的であり、広範なキャンセル性を示すことが示された。これは、一般の非可換多項式とは異なり、可換多項式に類似した振る舞いを示す。
• 著者らは、非可換回路のブラックボックス PIT が存在しても、行列恒等式の認識は依然として困難であることを示した。例えば $s_4$ のような恒等式は非可換多項式としてはゼロとならない。
• 任意の次数 $d$ の多項式 $f$ に対して、$Q(f) = O(n^{d-1})$ が成り立つが、この上限は特定の難しい族に対して高い $Q$-測度をとることを排除しない。
• 特定の有限基底の代入インスタンスでない恒等式族が、強い $Q$-測度下界を証明するために不可欠である証拠を提供した。このような族は、自明な還元を避ける。