[論文レビュー] Generating nested quadrature formulas for general weight functions with known moments

Sanjay Mehrotra, Dávid Papp|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、既知の有限モーメントを持つ一般の連続確率分布に対して、三項再帰関係に依存せずに、ネストされた求積公式を生成する新規アルゴリズムを提示する。Pattersonの手法を拡張し、直ちにモーメントを用いて直交多項式に類似した構成により、高次精度の公式を構築する。これにより、有理数モーメントの場合に正確な有理数演算が可能になり、Mathematicaにおける効率的な実装が可能となる。

ABSTRACT

We revisit the problem of extending quadrature formulas for general weight functions, and provide a generalization of Patterson's method for the constant weight function. The method can be used to compute a nested sequence of quadrature formulas for integration with respect to any continuous probability measure on the real line with finite moments. The advantages of the method include that it works directly with the moments of the underlying distribution, and that for distributions with rational moments the existence of the formulas can be verified by exact rational arithmetic.

研究の動機と目的

• 有限モーメントを持つ任意の連続確率分布に適用可能なネストされた求積規則を構築する一般手法を開発すること。
• 直交多項式の三項再帰関係に依存しないこと。これらはしばしば利用不可または計算が困難である。
• モーメントが有理数である場合に、正確な有理数演算を用いて計算を保証し、数値的信頼性を確保すること。
• モーメントに直接対応する、実装可能でスムーズなアルゴリズムを提供し、アクセス性と再現可能性を向上させること。
• Pattersonのアプローチを定数重み関数のケースに限らず、既知のモーメントを持つ一般の重み関数へと拡張すること。

提案手法

• 本手法は二段階のアルゴリズムを用いる。まず、現在のノードの根を持つ多項式 F に対して、∫F(t)G(t)t^i ρ(t)dt = 0 (i = 0,…,p−1) を満たす次数 p の多項式 G を見つける。
• これにより、拡張された公式の正確性の次数が n + 2p − 1 以上になることが保証される。ここで n は F の次数である。
• G の存在と構造を決定するため、モーメント条件から導かれる連立一次方程式系を解くことで、アルゴリズムが成立する。
• 根、結果式、判別式に関する条件を用いて、F とは異なる実数・単一・相異なる根を持つ G の存在を記号計算により検証する。
• Mathematica で実装されており、2つのコア関数が使用される：FormulaExtension は系列内の次の多項式を計算し、NodesAndWeights は線形方程式系を解いてノードと重みを計算する。
• 入力が有理数の場合、すべての計算を正確な有理数演算で行えるため、誤差のない検証が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三項再帰関係に依存せず、一般の重み関数に対してネストされた求積規則を体系的に生成することは可能か？
• RQ2 重み関数のモーメントのみを用いて、求積公式の正確性の次数を最大限に拡張する方法は何か？
• RQ3 拡張された公式が高次多項式の正確性を保ちつつネスト性を維持するための条件は何か？
• RQ4 存在性および正しさの検証に、どの程度正確な有理数演算を適用できるか？
• RQ5 本手法は、例えば Beta(1/2,1/2) 分布のような既知のモーメントを持つ分布に対し、効率的に実装・スケーリング可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、Beta(1/2,1/2) 分布に対して、121 個のノードと少なくとも 121 次の正確性を持つネストされた求積公式の系列を正常に生成した。
• 5 回の連続した拡張の計算に 0.1 秒未満を要し、高い計算効率を示した。
• 100 桁の精度で 5 つの公式の重みを 0.4 秒で計算した。高精度計算の実現可能性を確認した。
• 有理数モーメントの場合、全プロセスを正確な有理数演算で実行可能であり、数値的信頼性と検証可能な結果を保証した。
• 本手法は Patterson のアルゴリズムを定数重み関数のケースに限らず、既知のモーメントを持つ任意の連続分布へと一般化した。
• Mathematica における実装は完全に機能し、アクセス可能である。関数は記号的モーメントを受け取り、正確または高精度数値解法によりノードと重みを返す。