[論文レビュー] Generating Practical Random Hyperbolic Graphs in Near-Linear Time and with Sub-Linear Memory

Penschuck, Manuel|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Graph Theory and Algorithms被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、定数係数を無視することでエッジ確率の表現を単純化する、双曲的ランダムグラフの一般化モデルである幾何的非一様ランダムグラフ（GIRGs）を導入する。GIRGsのサンプリングアルゴリズムは、期待線形時間で生成可能であり、既存の双曲的ランダムグラフのサンプリングを √n 倍改善する。また、GIRGsは定数のクラスタリング係数、小さな分離集合、および線形空間を用いた高効率な圧縮性を有することが示された。

ABSTRACT

Large real-world networks typically follow a power-law degree distribution. To study such networks, numerous random graph models have been proposed. However, real-world networks are not drawn at random. In fact, the behavior of real-world networks and random graph models can be the complete opposite of one another, depending on the considered property. Brach, Cygan, Lacki, and Sankowski [SODA 2016] introduced two natural deterministic conditions: (1) a power-law upper bound on the degree distribution (PLB-U) and (2) power-law neighborhoods, that is, the degree distribution of neighbors of each vertex is also upper bounded by a power law (PLB-N). They showed that many real-world networks satisfy both deterministic properties and exploit them to design faster algorithms for a number of classical graph problems like transitive closure, maximum matching, determinant, PageRank, matrix inverse, counting triangles and maximum clique. We complement the work of Brach et al. by showing that some well-studied random graph models exhibit both the mentioned PLB properties and additionally also a power-law lower bound on the degree distribution (PLB-L). All three properties hold with high probability for Chung-Lu Random Graphs and Geometric Inhomogeneous Random Graphs and almost surely for Hyperbolic Random Graphs. As a consequence, all results of Brach et al. also hold with high probability for Chung-Lu Random Graphs and Geometric Inhomogeneous Random Graphs and almost surely for Hyperbolic Random Graphs. In the second part of this work we study three classical NP-hard combinatorial optimization problems on PLB networks. It is known that on general graphs, a greedy algorithm, which chooses nodes in the order of their degree, only achieves an approximation factor of asymptotically at least logarithmic in the maximum degree for Minimum Vertex Cover and Minimum Dominating Set, and an approximation factor of asymptotically at least the maximum degree for Maximum Independent Set. We prove that the PLB-U property suffices such that the greedy approach achieves a constant-factor approximation for all three problems. We also show that all three combinatorial optimization problems are APX-complete, even if all PLB-properties hold. Hence, a PTAS cannot be expected, unless P=NP.

研究の動機と目的

• 既存の双曲的ランダムグラフのサンプリングアルゴリズムにおける計算非効率性を解消すること。
• 技術的複雑性を軽減しつつ、双曲的ランダムグラフと質的に同等のモデルを構築し、主要な構造的性質を維持すること。
• 新モデルの基本的なアルゴリズム的・構造的性質を確立すること。具体的には、サンプリング効率、クラスタリング、分離集合、圧縮性を含む。
• 将来的な複雑ネットワークモデルに関する理論的および実験的研究の基盤を提供すること。

提案手法

• 頂点に重みとd次元トーラス上の位置を持つ、双曲的ランダムグラフの一般化として幾何的非一様ランダムグラフ（GIRGs）を提案する。
• エッジ確率を頂点の重みに比例し、距離に反比例するように定義し、分析を単純化するため定数係数を無視する。
• 幾何的および重みに基づくスパarsityを活用することで、期待線形時間で実行されるサンプリングアルゴリズムを設計する。
• 閾値モデルとテイラー近似を用いて、異なる距離および重み条件におけるエッジ確率の挙動を分析する。
• 集中法および確率的議論を用いて、定数クラスタリングや小さな分離集合といった構造的性質を証明する。
• グラフの幾何的およびパワー則的構造に基づく圧縮技術を用い、線形空間表現を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下部に幾何的構造を持つランダムグラフモデルを、期待線形時間でサンプリング可能か？
• RQ2 提案モデルは、高いクラスタリングや小さな分離集合といった主要なネットワーク特性を保持するか？
• RQ3 サブ線形空間を用いて効率的に圧縮可能か？
• RQ4 エッジ確率における定数係数の無視が、双曲的ランダムグラフと比較してモデルの定性的な挙動に与える影響はいかほどのものか？

主な発見

• 提案されたサンプリングアルゴリズムは期待線形時間で実行可能であり、既存の最良の双曲的ランダムグラフのサンプリングを √n 倍改善する。
• GIRGsは Ω(1) のクラスタリング係数を示し、実世界のネットワークの特徴的である高クラスタリングを維持している。
• GIRGsは小さな分離集合を有しており、巨大成分を分離させるために必要なエッジの数が部分線形的であることを示唆している。
• GIRGsは期待線形ビット数で損失なしに圧縮可能であり、強い圧縮性を示している。
• 双曲的ランダムグラフはGIRGsの特別な場合であり、モデルの実世界ネットワークモデリングへの妥当性が裏付けられた。
• 理論的分析により、GIRGsは双曲的ランダムグラフが有するスケールフリー性、小世界性、高クラスタリング性を保持するとともに、技術的複雑性を単純化していることが確認された。