[論文レビュー] Generating series of cyclically fully commutative elements is rational

Mathias Pétréolle|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2016

semigroups and automata theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意のコクセター群における巡回的完全可換（CFC）元の生成関数が有理関数であることを、CFC元の既約表現を認識する有限状態オートマトンを構成することで証明する。このオートマトンと最小既約分解に関する結果を用い、正則言語の閉包性質により、生成関数の有理関数性が確立される。

ABSTRACT

In this paper, we study the generating function of cyclically fully commutative elements in Coxeter groups, which are elements such that any cyclic shift of theirs reduced decompositions remains a reduced expression of a fully commutative element. By designing a finite state automaton recognizing reduced expressions of cyclically fully commutative elements, we can show that the aforementioned generating series is always rational.

研究の動機と目的

• 任意のコクセター群における巡回的完全可換（CFC）元の生成関数の有理関数性を確立すること。
• 完全可換元の生成関数の有理関数性に関する先行研究を、CFC元というより広いクラスへと拡張すること。
• オートマトン理論的技法を用いて、生成関数を構成的に計算する手法を提供すること。
• 有限およびアフィンコクセター群に関する以前の結果を、任意のコクセター系へ一般化すること。

提案手法

• コクセター群におけるCFC元の既約表現の言語を認識する有限状態オートマトンを設計すること。
• 既約表現の組み合わせ的性質と巡回シフトを用いて、オートマトンがCFC元の正確な既約表現のみを受理することを証明すること。
• ブリンクとハウホットの結果（最小既約分解が有限オートマトンで認識可能）を活用すること。
• 最小既約分解の言語とCFC表現の言語の交差をとることで、各CFC元に対して正確に1つの代表元を抽出すること。
• 正則言語の交差に関する閉包性質と、正則言語の生成関数の有理関数性を用いて、生成関数の有理関数性を結論づけること。
• オートマトンをアルゴリズム的に実装し、正則表現を生成し、系列を計算することで、計算的検証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコクセター群において、巡回的完全可換元の生成関数は有理関数か？
• RQ2 CFC元の既約表現を認識する有限状態オートマトンを構成可能か？
• RQ3 最小既約分解の言語とCFC表現の言語の交差は正則言語か？
• RQ4 CFC元の直接的な再帰的分解なしに、生成関数の有理関数性を確立可能か？
• RQ5 CFC表現を認識するオートマトンの構造とサイズは何か？最小化可能か？

主な発見

• 任意のコクセター群における巡回的完全可換元の生成関数 $ W^{CFC}(x) $ は有理関数である。
• CFC元の既約表現を認識する有限状態オートマトンが明示的に構成され、正しさが証明されている。
• 最小既約分解の言語とCFC表現の言語の交差は正則言語をなしており、これが生成関数の有理関数性を示唆する。
• 本手法により、CFC元の正則表現およびその生成関数を計算するアルゴリズム的手順が提供される。
• この結果は、以前に有限およびアフィンコクセター群において生成関数が有理関数であることが知られていた事実を確認・一般化する。
• CFC表現を認識するオートマトンは多数の状態を有する（例：$\widetilde{A}_3$ では149状態）、最適化または最小化の余地があると考えられる。