[論文レビュー] Generating spherically symmetric static perfect fluid solutions

Gyula Fodor|ArXiv.org|Nov 12, 2000

Computational Physics and Python Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、数値的・記号的積分を必要とせずに、面積座標における球対称静的完全流体解を生成する新規な代数的手法を提示する。圧力等方性条件を1つの変数における2次代数方程式に変換することで、他の変数を生成関数として用い、圧力、密度、および1つの計量関数を生成関数とその微分の代数的関数として表現する。一方、赤方偏移関数は積分を要する。主たる貢献は、中心で正則で、圧力および密度が正かつ有限である物理的に現実的な流体解を体系的に構築するためのアルゴリズムを提供することにある。

ABSTRACT

By a choice of new variables the pressure isotropy condition for spherically symmetric static perfect fluid spacetimes can be made a quadratic algebraic equation in one of the two functions appearing in it. Using the other variable as a generating function, the pressure and the density of the fluid can be expressed algebraically by the function and its derivatives. One of the functions in the metric can also be expressed similarly, but to obtain the other function, related to the redshift factor, one has to perform an integral. Conditions on the generating function ensuring regularity and physicality near the center are investiagted. Two everywhere physically well behaving example solutions are generated, one representing a compact fluid body with a zero pressure surface, the other an infinite sphere.

研究の動機と目的

• 積分を解くことなく、物理的に現実的な球対称静的完全流体解を生成する手法を開発すること。
• 中心での正則性、圧力および密度の正値性、および支配的エネルギー条件の満たされることを保証すること。
• 圧力、密度、および1つの計量関数が生成関数とその微分の直接的な代数的関数として表現される代数的フレームワークを提供すること。
• 2つの明示的解を用いて手法を示す：1つはゼロ圧力表面を持つコンパクトな流体球を表し、もう1つは空間無限にまで広がる無限の流体分布を記述する。
• 生成された解から単純な物理的状態方程式を導出できるかどうかを検討すること。

提案手法

• 面積座標を用いて、圧力等方性条件を2つの計量関数のうちの1つに関する2次代数方程式に変換する。
• もう1つの計量関数を生成関数 α として用い、物理的性質を代数的に決定する。
• 圧力 p とエネルギー密度 μ を α 及びその1階および2階微分の有理関数として表現する。
• α から計量関数の径方向成分を代数的に導出するが、赤方偏移関数 ν はその微分を積分することで得られ、その微分は代数的に表現可能である。
• 中心近傍でのべき級数展開を用いて、正則性および物理的性質（正の p, μ、局所的最大値、支配的エネルギー条件）を満たすための α に関する必要条件を導出する。
• 2つの明示的解を構築する：1つは多項式生成関数 α を用いたコンパクトな流体球の解、もう1つは双曲的関数 α を用いた無限の流体分布の解。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成関数を用いて、積分を評価することなく球対称完全流体解を生成できるか？
• RQ2 生成関数にどのような条件を課すと、中心近傍での正則性および物理的性質（正の p, μ、支配的エネルギー条件）が保証されるか？
• RQ3 有限で正の圧力および密度を持つ物理的に現実的な解を、この手法で代数的に生成できるか？
• RQ4 得られた状態方程式はどのように特徴づけられ、単純なものか複雑なものか？
• RQ5 この手法を、既知または単純な状態方程式を持つ解を生成するために拡張可能か？

主な発見

• 本手法により2つの新しい正確解が得られた：1つはゼロ圧力表面を持つコンパクトな流体球を表し、もう1つは空間無限にまで広がる無限の流体分布を記述する。
• コンパクト解では、圧力および密度が正で単調に減少し、適切なパrameter選択のもとで音速が因果的（1未満）である。
• 無限解においても、圧力および密度は正で単調に減少し、μ > p が常に成り立ち、支配的エネルギー条件を満たす。
• 無限解の状態方程式は非常に複雑である（p に関して8次、μ に関して4次、パrameterに関して12次）が、大距離で漸近的に線形であり、p/μ ≈ (6 + 4√(4 + c²))/(2(4c² + 7)) < 1 となる。
• 赤方偏移関数の微分 ν′ は生成関数とその微分の代数的関数として表現可能であるが、ν 自体は積分を要する。
• 高次多項式生成関数を用いることで、任意のパrameter化が可能であり、望みの物理的性質を持つ解の柔軟な構築が可能となる。