[論文レビュー] Generation of interfaces for multi-dimensional stochastic Allen-Cahn equation with a noise smooth in space

Kai Lee|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、空間に滑らかなノイズを伴う多変数確率的アレン・コーエン方程式における界面生成を研究し、界面が $ O(\varepsilon |\log \varepsilon|) $ のオーダーの時間に形成されることを証明している。これは、従来の1次元結果を拡張したものであり、SPDEに対する比較原理を確立し、特定の時間スケーリング下でフナキの1次元における界面運動と関連づけている。

ABSTRACT

In this paper, we study the generation of interfaces for a stochastic Allen-Cahn equation with general initial value in the multi-dimensional case that external noise is given by Q-Brownian motion. We prove that interfaces, for d-dimensional stochastic Allen-Cahn equation with scaling parameter are generated at the time of logarithmic order. Especially, in one-dimensional case, we give more detailed estimate and shape of the generated interface. Assuming that the Q-Brownian motion is smooth in space variable, we extend a comparison theorem for PDE to SPDE's in order to prove the generation. Moreover, we connect the generated interface to the motion of interface in one-dimension which is result of Funaki.

研究の動機と目的

• 空間に滑らかなノイズを伴う多変数確率的アレン・コーエン方程式における界面の生成時刻と形状を解析すること。
• $ Q $-ブラウン運動ノイズを伴う確率的SPDEへ、決定論的PDE理論からの比較定理を拡張すること。
• 2次元以上での界面生成に適した明確な時間スケールを特定し、1次元結果を一般化すること。
• 1次元の場合におけるフナキ[4]の界面運動モデルと、生成された界面のダイナミクスを、時間スケール $ O(\varepsilon^{-2\gamma-1}) $ で結びつけること。

提案手法

• ノイズが空間に滑らかである場合の確率的アレン・コーエン方程式に対して、弱解表現を用いる。
• $ Q $-ブラウン運動の滑らかさに関する仮定と、$ x=y $ における導関数の正の性質を仮定することで、決定論的PDE理論から拡張されたSPDE用の比較原理を適用する。
• 移動波解 $ m $ が満たす $ \Delta m + f(m) = 0 $、$ m(0) = 0 $、$ m(\pm\infty) = \pm 1 $、単調性を満たすものとして、上解および下解 $ w_{\varepsilon}^{\pm} $ を構成する。
• 界面運動を解析するための時間スケール変換を導入し、1次元ダイナミクスの関連時間スケールとして $ \varepsilon^{-2\gamma-1} $ を用いる。
• 滑らかな近似と最大原理を用いて、解 $ u^\varepsilon $ を構成された上解および下解と比較する。
• 初期データ $ u_0^\varepsilon $ について、一意なゼロ $ \xi_0 $、一様な $ C^2 $-有界性、コンパクト集合外での $ u_0^\varepsilon \pm 1 $ の指数的減衰を仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間に滑らかなノイズを伴う多変数確率的アレン・コーエン方程式において、界面はどの時間スケールで形成されるか？
• RQ2 $ d \geq 2 $ において、生成された界面の形状と位置は、初期データおよびノイズ構造にどのように依存するか？
• RQ3 滑らかな空間依存ノイズ下で、SPDEに対する比較原理を確立できるか？ これにより界面解析が可能になるか？
• RQ4 時間ノイズ $ \varepsilon^\gamma a(x) \dot{W}_t $ を伴う1次元の場合、界面生成時刻と界面運動ダイナミクスとの関連は何か？
• RQ5 界面生成後の界面運動を研究するにあたり、適切な時間スケールは何か？ また、ノイズ強度とどのように関係するか？

主な発見

• 空間に滑らかな $ Q $-ブラウン運動ノイズを伴う $ d $ 次元確率的アレン・コーエン方程式において、界面は $ O(\varepsilon |\log \varepsilon|) $ のオーダーの時間に生成される。
• 1次元の場合、本稿は先行研究[7]よりも界面形状についてより詳細な記述を提供しており、遷移層に関する鋭い推定値も得ている。
• 時間 $ t = C_1 \varepsilon |\log \varepsilon| $ において、$ x \gtrsim \pm K $ に対して $ |u^\varepsilon(t,x) \pm 1| \leq \varepsilon^\kappa \bar{g}_{1,2}(x) $ が成り立ち、$ \bar{g}_{1,2} \in H^1(\mathbb{R}) $ であるため、安定状態への収束が示唆される。
• 1次元における界面運動は時間スケール $ O(\varepsilon^{-2\gamma-1}) $ で解析されており、フナキの結果[4]と整合的である。解は、移動波解から構成された上解および下解の間で有界に保たれる。
• $ \partial_x \partial_y Q(x,y) > 0 $ および $ \partial_x^2 \partial_y^2 Q(x,y) > 0 $ が $ x=y $ で成り立つという仮定の下で、SPDE用の比較原理が成功裏に拡張され、厳密な界面推定が可能になった。
• $ \varepsilon \to 0 $ のとき、$ P(C_1 \varepsilon |\log \varepsilon| \leq \varepsilon \bar{\tau}_4 \wedge \bar{\tau}_6 \wedge \varepsilon \bar{\tau}_7) \to 1 $ の収束が確認され、界面生成時刻が鋭く、ほとんど確実に特定されていることが示された。