[論文レビュー] Generation of mutually unbiased bases as powers of a unitary matrix in 2-power dimensions

Rod Gow|ArXiv.org|Mar 12, 2007

Matrix Theory and Algorithms参考文献 2被引用数 39

ひとこと要約

本稿では、$d+1$ 個の相互に unbiased な基底 (MUBs) を $\mathbb{C}^d$ に構成する。ここで $d = 2^a$ である。その構成法は、$d \times d$ の位数 $d+1$ のユニタリ行列のべき乗を用いるもので、これは特異的 $2$-群の自己同型から生じる。主な結果は、このような行列が $d+1$ 個すべての MUBs を生成できることであり、群表現論とリー代数の分解を用いた新しい代数的構成を与える。

ABSTRACT

Let q be a power of 2. We show by representation theory that there exists a q x q unitary matrix of multiplicative order q+1 whose powers generate q+1 pairwise mutually unbiased base in C^q. When q is a power of an odd prime, there is a q x q unitary matrix of multiplicative order q+1 whose first (q+1)/2 powers generate (q+1)/2 pairwise mutually unbiased bases. We also show how the existence of these matrices implies the existence of a special type of orthogonal decomposition with respect to the Killing form of the special linear and symplectic Lie algebras.

研究の動機と目的

• $d = 2^a$ のとき、$\mathbb{C}^d$ における $d+1$ 個の相互に unbiased な基底 (MUBs) の明示的な代数的構成を提供すること。この場合、MUBs の存在は知られているが、明示的構成は限定的である。
• 位数 $d+1$ の単一のユニタリ行列のべき乗が、$2$ のべき次元において $d+1$ 個すべての MUBs を生成できることを示し、MUBs の構造的洞察を提供すること。
• このようなユニタリ行列の存在と、特別な線型代数とシミプレクティック代数の直交分解との間の関係を確立すること。
• 奇素数べき次元における場合と対比し、位数 $d+1$ のユニタリ行列の最初の $\frac{d+1}{2}$ 個のべき乗からは、$\frac{d+1}{2}$ 個の MUBs のみが生成可能であり、$d+1$ 個すべてを生成することは不可能であることを示すこと。
• 行列によって誘導される自己同型が、$d$ が $2$ のべきのとき、リー代数 $\mathfrak{sl}_d(\mathbb{C})$ の $d+1$ 個のカルタン部分代数に可移的に作用することを示すこと。

提案手法

• $q = 2^a$ に対して、位数 $q^4$ の有限非アーベル群 $G_q$ を構成する。これは $\mathbb{F}_{q^2} \times \mathbb{F}_{q^2}$ 上の乗法則によって定義され、特異的 $2$-群である。
• $\mathbb{F}_{q^2}^\times$ の位数 $q+1$ の元 $\alpha$ を用いて、$G_q$ の自己同型 $\sigma$ を定義する。$\sigma$ は $(a,b) \mapsto (\alpha a, b)$ として作用する。$\sigma$ の位数は $q+1$ である。
• $G_q$ の $\mathbb{C}^q$ 上の既約表現 $X$ を実現し、位数 $q+1$ のユニタリ行列 $D$ を得る。この $D$ のべき乗が MUBs を生成する。
• 表現 $X$ による最大アーベル部分群の像が正規直交基底をなすこと、およびユニタリ行列 $D$ がこれらの基底を可移的に置き換えることの証明を行う。
• $G_q$ の表現論を用いて、$D$ のべき乗によって生成される $q+1$ 個の基底が、互いに相互に unbiased であることを証明する。
• 特殊線型リー代数 $\mathfrak{sl}_q(\mathbb{C})$ とシミプレクティックリー代数 $\mathfrak{sp}_q(\mathbb{C})$ に対して、$q+1$ 個のカルタン部分代数への直交分解を確立し、$D$ による共役作用で可移的に置き換えられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d = 2^a$ のとき、$\mathbb{C}^d$ における $d+1$ 個の相互に unbiased な基底は、位数 $d+1$ の単一のユニタリ行列のべき乗として生成可能か？
• RQ2 このような構成を可能にする群の代数的構造とその自己同型は何か？
• RQ3 特異的 $2$-群の表現論は、$2$ のべき次元における MUBs の構成とどのように関係するか？
• RQ4 なぜ奇素数べき次元では、位数 $d+1$ のユニタリ行列のべき乗から $d+1$ 個すべての MUBs を生成することは不可能なのか？
• RQ5 位数 $d+1$ の自己同型によって保存される $\mathfrak{sl}_d(\mathbb{C})$ の $d+1$ 個のカルタン部分代数への直交分解は、シミプレクティックリー代数へも拡張可能か？

主な発見

• $d = 2^a$ のとき、$d \times d$ のユニタリ行列 $D$ が存在し、その乗法的位数は $d+1$ である。この $D$ のべき乗は、$\mathbb{C}^d$ における $d+1$ 個の相互に unbiased な基底を生成する。
• この構成は、特異的 $2$-群 $G_q$ の位数 $d+1$ の自己同型に依存しており、これにより $\mathbb{C}^d$ 上にユニタリ表現が誘導される。
• $d+1$ 個の基底は、表現による最大アーベル部分群の像として得られ、自己同型はそれらを可移的に置き換える。
• 同じ手法により、特殊線型リー代数 $\mathfrak{sl}_d(\mathbb{C})$ が $d+1$ 個のカルタン部分代数に直交分解され、位数 $d+1$ の自己同型によって可移的に置き換えられることが示される。
• 奇素数べき次元 $d = p^a$ の場合、位数 $d+1$ のユニタリ行列の最初の $\frac{d+1}{2}$ 個のべき乗からは、最大で $\frac{d+1}{2}$ 個の MUBs のみが生成可能であり、$d+1$ 個すべてを生成することはこの方法では不可能である。
• 同様に、シミプレクティックリー代数 $\mathfrak{sp}_d(\mathbb{C})$ に対しても、$d+1$ 個のカルタン部分代数への直交分解が存在し、同じ位数 $d+1$ の自己同型によって可移的に置き換えられる。