[論文レビュー] Generation of Universal Linear Optics by Any Beamsplitter

Adam Bouland, Scott Aaronson|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Quantum Information and Cryptography参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非自明なビームスプリッター（モードの置換や全位相の適用以外の2モードユニタリゲート）が、m ≥ 3の光モードにおける1光子部分空間上で、完全な特殊ユニタリ群 SU(m) を密に生成できることを証明している。この結果により、このようなゲート集合は、自明か線形光学における普遍性のどちらかであり、中間の複雑さのクラスはあり得ないという二分法が確立され、量子線形光学における普遍性の鍵となる問いが解決された。

ABSTRACT

In 1994, Reck et al. showed how to realize any unitary transformation on a single photon using a product of beamsplitters and phaseshifters. Here we show that any single beamsplitter that nontrivially mixes two modes, also densely generates the set of unitary transformations (or orthogonal transformations, in the real case) on the single-photon subspace with m>=3 modes. (We prove the same result for any two-mode real optical gate, and for any two-mode optical gate combined with a generic phaseshifter.) Experimentally, this means that one does not need tunable beamsplitters or phaseshifters for universality: any nontrivial beamsplitter is universal for linear optics. Theoretically, it means that one cannot produce "intermediate" models of linear optical computation (analogous to the Clifford group for qubits) by restricting the allowed beamsplitters and phaseshifters: there is a dichotomy; one either gets a trivial set or else a universal set. No similar classification theorem for gates acting on qubits is currently known. We leave open the problem of classifying optical gates that act on three or more modes.

研究の動機と目的

• 制限された光学ゲート集合（特にビームスプリッターと位相シフトゲート）が、非普遍的ではあるが非自明な線形光学計算を可能にするかを特定すること。
• キュービット量子計算におけるクリフォード群に類似した中間の線形光学計算モデルが存在するかを調査すること。
• m ≥ 3モードに対して、2モード光学ゲートのうちどのものが SU(m) や SO(m) の稠密部分群を生成するかを分類すること。
• 線形光学における普遍性が、調整可能なコンponentsに依存するのか、それとも任意の非自明なビームスプリッターで十分なのかを解明すること。

提案手法

• 非自明な2モードユニタリゲート（行列式 -1）が、そのゲート積のトレースを分析することで、m ≥ 3 に対して SU(m) を密に生成することを証明。トレースの集合がリー代数を張ることを示した。
• 表現論と SO(3) の閉部分群の分類を用いて、行列式 +1 の非自明な実2モードゲートが SO(3) を生成することを示し、m ≥ 3 に対して SO(m) を生成することを導いた。
• Reckらの分解結果を応用し、回転行列の積分解を介して、3モードから m ≥ 3 モードへの普遍性を拡張した。
• ゲート積のトレースが実数か虚数かに応じて場合分けを行い、非自明なビームスプリッターの性質を用いて、自明な部分群を除外した。
• ユニタリ性と位相の自由度を活用し、任意の非自明な2モードゲートを位相シフトゲートと組み合わせて行列式 -1 のビームスプリッターに変換することで、一般の非自明な2モードゲートに対しても結果を拡張した。
• リー群論を用いて、任意の非自明な2モードゲートが SU(m) や SO(m) の稠密部分群を生成することを示し、有限群や U(1) 的な部分群が存在しないことを排除した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m ≥ 3 モードにおける1光子部分空間上で、任意の非自明な2モードビームスプリッター（行列式 -1）が、全 SU(m) 群を密に生成できるか？
• RQ2 キュービットモデルにおけるクリフォード群に類似した、非普遍的で非自明なゲート集合（自明と普遍の間）が線形光学に存在するか？
• RQ3 光学ゲートに位相が存在する場合、キュービット量子回路におけるそれと同様の二分法が成立しないのか？
• RQ4 行列式が -1 でない2モードゲートに対しても、普遍性の結果を拡張できるか？
• RQ5 k ≥ 3 モードの光学ゲートに対しても、この二分法を一般化できるか？

主な発見

• 非自明な2モードビームスプリッター（行列式 -1）は、m ≥ 3 に対してすべての SU(m) を密に生成し、調整可能なコンponentsが不要であることを証明した。
• 任意の2モード実光学ゲートに対しても、非自明であれば m ≥ 3 に対して SO(m) を生成する。行列式が +1 であっても同様である。
• 本稿は、厳密な二分法を確立した：ビームスプリッターと位相シフトゲートの集合は、自明な群を生成するか、線形光学において普遍的であるかのどちらかであり、中間のモデルは存在しない。
• 行列式にかかわらず、任意の非自明な2モードユニタリゲートは、位相シフトゲートと組み合わせることで、ビームスプリッターに変換可能であり、結果として位相シフトゲートと組み合わせれば普遍的である。
• トレース解析を用いて、有限群やアーベル群の部分群が除外されることを示し、生成される群が SU(m) や SO(m) に稠密に生成されることを証明した。
• この結果により、このような系に対しては、自明でない限り、効率的な古典的シミュレーションは不可能であることが示唆され、ボソンサンプリングや関連タスクの困難性を支持する。