[論文レビュー] Generator Sets for the Alternating Group

Aviv Rotbart|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、反転群 $A_n$ を、形のパルindrome積 $(1,2)(i,j)$ からなる生成集合を用いて研究する。これはコクセター群における反転に類似した役割を果たす。この生成集合に関する長さ関数の組合せ的特徴づけを提供し、その母関数を導出し、Broderの2制限付き第一種スターリング数と明確な関係を確立する。さらに、$A_n$ 内の長さ $k$ の置換の個数が、2制限付きスターリング数 $\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{n}{n-k}_2$ に等しいことを証明する。また、長さ関数の期待値と分散を計算し、$n$ が増加するにつれて分散が $H_n - H_{n,2} - \frac{1}{4}$ に収束することを示す。

ABSTRACT

Although the alternating group is an index 2 subgroup of the symmetric group, there is no generating set that gives a Coxeter structure on it. Various generating sets were suggested and studied by Bourbaki, Mitsuhashi, Regev-Roichman, Vershik-Vserminov and others. In a recent work of Brenti- Reiner-Roichman it is explained that palindromes in Mitsuhashi's generating set play a role similar to that of re ections in a Coxeter system. We study in detail the length function with respect to the set of palindromes. Results include an explicit combinatorial description, a generating function, and an interesting connection to Broder's restricted Stirling numbers.

研究の動機と目的

• 反転群 $A_n$ を、コクセター系における反転の役割を模倣する生成集合を用いて研究すること。$A_n$ はコクセター群ではないが、そのような生成集合を用いる。
• 生成集合 $T(A_n) = \{ (1,2)(i,j) \mid 1 \leq i < j \leq n \}$ に関する長さ関数の組合せ的記述を提供すること。これは、Mitsuhashiの生成元におけるパルindromeである。
• 長さ $k$ の置換の個数が $A_n$ 内に存在するとき、それがBroderの2制限付き第一種スターリング数とどのように関係するかを明確にすること。
• 生成集合 $T(A_n)$ に関する長さ関数の期待値と分散を計算し、長さ分布の母関数を導出すること。

提案手法

• 本稿は、特に $\prod_{t=2}^{n-1}(1 + tx)$ の形の積を用いて $A_n$ 内の長さ分布をモデル化する母関数技法を用いる。
• サイクル数と置換統計に関する既知の結果を応用し、$S_n$ 内の転置長さに関して $\ell_T(v) + \text{cyc}(v) = n$ であるという恒等式を用いる。
• 主な手法として、$A(n,k) \to P(n,n-k)$ という一対一対応写像 $f$ の構成がある。ここで $P(n,k)$ は、$k$ 個のサイクルを持ち、1と2が異なるサイクルにある置換の集合である。この写像により、制限付きスターリング数との関係を証明する。
• 再帰関係 $a(n,k) + a(n,k-1) = \genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{n}{n-k}_2 + \genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{n}{n-k+1}_2$ の検証に、帰納法と母関数の代数的変形を用いる。
• 長さ関数の一次および二次微分を計算し、期待値と分散を導出する。ここで $H_n$ は $n$ 番目の調和数、$H_{n,2}$ は2次の一般化調和数を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成集合 $T(A_n) = \{ (1,2)(i,j) \mid 1 \leq i < j \leq n \}$ に関する $A_n$ 内の長さ関数の組合せ的構造は何か？
• RQ2 長さ $k$ の置換の個数が $A_n$ 内に存在するとき、それらは既知の組合せ的数列、特に制限付きスターリング数とどのように関係するか？
• RQ3 生成集合 $T(A_n)$ に関する長さ関数の期待値と分散は何か？また、$n$ に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 この生成集合を用いて $A_n$ の元に対する標準形を定義できるか？また、サイクル構造とはどのように関係するか？
• RQ5 長さが $k$ の $A_n$ 内の置換と、特定のサイクル制約およびサポート制約を満たす $S_n$ 内の置換との間には、一対一対応が存在するか？

主な発見

• 生成集合 $T(A_n)$ に関する $A_n$ 内の長さ $k$ の置換の個数は、2制限付き第一種スターリング数に正確に等しい。すなわち、$0 \leq k \leq n-2$ に対して $a(n,k) = \genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{n}{n-k}_2$ が成り立つ。
• 長さ関数 $\ell_{T(A_n)}$ の期待値は $n - H_n - \frac{1}{2}$ である。ここで $H_n$ は $n$ 番目の調和数である。
• 長さ関数の分散は $H_n - H_{n,2} - \frac{1}{4}$ である。ここで $H_{n,2}$ は2次の一般化調和数を表す。
• 長さ分布の母関数は $\prod_{t=2}^{n-1}(1 + tx)$ であり、その微分はモーメントの計算に用いられる。
• 長さ $k$ の $A_n$ 内の置換の集合と、$n-k$ 個のサイクルを持ち、1と2が異なるサイクルにある $S_n$ 内の置換の集合との間で、一対一対応が確立された。
• 生成集合 $T(A_n)$ に関する $A_n$ の元の標準形は一意に定まり、サイクル分解および転置長さの偶奇性と関係している。