[論文レビュー] Generators for a module of vector-valued Siegel modular forms of degree 2

van Dorp|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般化されたランキン＝コーン・微分作用素と、ベクトル値形式のための新しいランキン＝コーン・ブラケットを用いて、次数 2 で重み $\operatorname{Sym}^6(\mathrm{St}) \otimes \det^k(\mathrm{St})$ かつ $k$ が奇数であるベクトル値シーゲルモジュラー形式の自由加群を構成し、偶数重みの古典的シーゲルモジュラー形式の環上の明示的生成元を確立する。

ABSTRACT

In this paper we will describe all vector-valued Siegel modular forms of degree 2 and weight ${ m Sym}^6({ m St}) \otimes \det^{k}({ m St})$ with $k$ odd. These vector-valued forms constitute a module over the ring of classical Siegel modular forms of degree 2 and even weight and this module turns out to be free. In order to find generators, we generalize certain Rankin-Cohen differential operators on triples of classical Siegel modular forms that were first considered by Ibukiyama and we find a Rankin-Cohen bracket on vector-valued Siegel modular forms.

研究の動機と目的

• 重み $\operatorname{Sym}^6(\mathrm{St}) \otimes \det^k(\mathrm{St})$ かつ奇数 $k$ の次数 2 ベクトル値シーゲルモジュラー形式の構造を特定すること。
• このような形式の加群が偶数重みの古典的シーゲルモジュラー形式の環上の自由加群として記述されることを述べること。
• 伊豫谷が開始したように、古典的シーゲルモジュラー形式の三重に一般化されたランキン＝コーン微分作用素を拡張すること。
• ベクトル値シーゲルモジュラー形式に特化した新しいランキン＝コーン・ブラケット作用素を導入すること。

提案手法

• 次数 2 の古典的シーゲルモジュラー形式の三重に一般化されたランキン＝コーン微分作用素を構成する。
• ベクトル値シーゲルモジュラー形式に新たなランキン＝コーン・ブラケット作用素を構築し、既存の形式から新しい形式を生成する。
• 一般化された作用素とブラケットを用いて、加群の候補生成元を生成する。
• 得られた形式が偶数重みの古典的シーゲルモジュラー形式の環上の自由加群を張ることを検証する。
• 既知の古典的シーゲルモジュラー形式の環の構造を活用して、加群の自由性を分析する。
• 作用素の作用と生成元の代数的独立性を分析することで、加群が自由であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み $\operatorname{Sym}^6(\mathrm{St}) \otimes \det^k(\mathrm{St})$ かつ奇数 $k$ の次数 2 ベクトル値シーゲルモジュラー形式の加群の構造は何か？
• RQ2 この加群は偶数重みの古典的シーゲルモジュラー形式の環上の自由加群として生成可能か？
• RQ3 ランキン＝コーン微分作用素は、次数 2 シーゲルモジュラー形式の文脈において、古典的形式の三重にどのように拡張可能か？
• RQ4 ベクトル値シーゲルモジュラー形式に一貫性のあるブラケット作用素は存在するか？ その作用素はモジュラー性を保ち、新しい形式を生成するか？
• RQ5 この加群の最小生成集合は何か？ そして、それらの生成元は古典的モジュラー形式とどのように関係するか？

主な発見

• 重み $\operatorname{Sym}^6(\mathrm{St}) \otimes \det^k(\mathrm{St})$ かつ奇数 $k$ の次数 2 ベクトル値シーゲルモジュラー形式の加群は、偶数重みの古典的シーゲルモジュラー形式の環上の自由加群である。
• 加群の生成元は、古典的形式の三重への一般化されたランキン＝コーン微分作用素を用いて明示的に構成される。
• ベクトル値シーゲルモジュラー形式に新たなランキン＝コーン・ブラケットが定義され、新しい形式の体系的生成を可能にする。
• 構成された生成元の代数的独立性と生成性により、加群の自由性が確立される。
• 一般化されたランキン＝コーン作用素は、伊豫谷の元来の構成をより高い対称べきおよびベクトル値設定に拡張する。
• 得られる加群構造により、このようなベクトル値モジュラー形式の空間が完全に記述される。