[論文レビュー] Generators of algebraic covariant derivative curvature tensors and Young symmetrizers

Bernd Fiedler|ArXiv.org|Oct 2, 2003

Tensor decomposition and applications参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、対称群代数におけるヤング射影子と群環イデアルを用いて、代数的共変微分曲率テンソルの生成子を同定する。その結果、特定の既約対称性型を持つ2階および3階の共変テンソルのヤング射影化積によって生成されるテンソルが、(2,1) 分割族に属する1つの例外的対称性型を除き、このようなテンソルが生成することを示している。

ABSTRACT

We show that the space of algebraic covariant derivative curvature tensors R' is generated by Young symmetrized tensor products W*U or U*W, where W and U are covariant tensors of order 2 and 3 whose symmetry classes are irreducible and characterized by the following pairs of partitions: {(2),(3)}, {(2),(2 1)} or {(1 1),(2 1)}. Each of the partitions (2), (3) and (1 1) describes exactly one symmetry class, whereas the partition (2 1) characterizes an infinite set S of irreducible symmetry classes. This set S contains exactly one symmetry class S_0 whose elements U can not play the role of generators of tensors R'. The tensors U of all other symmetry classes from S\{S_0} can be used as generators for tensors R'. Foundation of our investigations is a theorem of S. A. Fulling, R. C. King, B. G. Wybourne and C. J. Cummins about a Young symmetrizer that generates the symmetry class of algebraic covariant derivative curvature tensors. Furthermore we apply ideals and idempotents in group rings C[Sr], the Littlewood-Richardson rule and discrete Fourier transforms for symmetric groups Sr. For certain symbolic calculations we used the Mathematica packages Ricci and PERMS.

研究の動機と目的

• 代数的共変微分曲率テンソル空間の代数的生成子を特定すること。これはリーマン曲率テンソルおよびその1階共変微分を一般化する。
• ヤング射影化によってこれらの曲率テンソルを生成できる2階および3階テンソルの対称性型を特徴づけること。
• (2,1) 分割族に由来する既約対称性型の中で、空間を生成できないものがどれであるかを解明し、1つの例外的クラスを同定すること。
• 特に群環イデアル、イデアルトープ、およびリトルウッド＝リチャードソン則を含む表現論の高度な道具を、テンソル生成問題に応用すること。

提案手法

• フルーリング他によるヤング射影子が代数的共変微分曲率テンソルの対称性型を生成することを示す定理を用いる。
• 複素数群環 $\mathbb{C}[\mathcal{S}_r]$ におけるイデアルとイデアルトープを用いて、生成テンソルの構造を解析する。
• リトルウッド＝リチャードソン則を用いてテンソル積表現の分解を行い、関連する対称性型を同定する。
• 対称群 $\mathcal{S}_r$ の離散フーリエ変換を用いて表現論的性質を解析する。
• Mathematica パッケージ Ricci および PERMS を用いた記号計算により、重要な群環要素の非ゼロ性を検証する。
• 生成子を、$T$ と $\hat{T}$ が指定された対称性型を持つ有限個のテンソル積 $T \otimes \hat{T}$ または $\hat{T} \otimes T$ の和として構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの2階および3階テンソルの対称性型が代数的共変微分曲率テンソル空間を生成できるか？
• RQ2 (2,1) 分割が生成テンソルの分解において果たす役割は何か？ また、その対称性型の中で、どれが除外されるか？
• RQ3 $\mathbb{C}[\mathcal{S}_5]$ 内のヤング射影子と群環イデアルトープは、これらの曲率テンソルの構造とどのように関係しているか？
• RQ4 生成子は、特定の対称性型を持つ積テンソルの有限和として表現可能か？
• RQ5 生成子として機能できない唯一の例外的対称性型 $S_0$ が (2,1) 家族内で果たす役割は何か？

主な発見

• 代数的共変微分曲率テンソル空間 $\mathfrak{R}'$ は、$T$ と $\hat{T}$ がそれぞれ分割 $\{(2),(3)\}$, $\{(2),(2\,1)\}$, または $\{(1^2),(2\,1)\}$ に由来する対称性型を持つ2階および3階テンソルのヤング射影化積 $T \otimes \hat{T}$ または $\hat{T} \otimes T$ によって生成される。
• $(2)$, $(3)$, および $(1^2)$ はそれぞれ1つの既約対称性型に対応するが、$(2\,1)$ は無限個の既約対称性型からなる族 $\mathfrak{S}$ を特徴づける。
• $\mathfrak{S}$ に属する対称性型の中で、ちょうど1つのクラス $S_0$ のみが $\mathfrak{R}'$ を生成できない。$\mathfrak{S} \setminus \{S_0\}$ に属する他のすべてのクラスは生成子として使用可能である。
• 生成子は、$\nu \neq \frac{1}{2}$ のとき非ゼロとなる群環要素 $\rho_\epsilon$ および $\sigma_{\nu,\epsilon}$ を用いて構成され、これらは $\mathbb{K}[\mathcal{S}_5]$ 内で同じ最小右イデアルを生成する。
• すべての代数的共変微分曲率テンソルは、$S \otimes U$, $A \otimes U$, $U \otimes S$, または $U \otimes A$ の形のテンソルの有限和として表現可能である。ここで $S$ と $A$ はそれぞれ2階の対称および交代テンソルであり、$U$ は指定された対称性を持つ3階テンソルである。
• イデアルトープ $\xi_\nu$ は $\nu = \frac{1}{2}$ のとき標準ヤング射影子と一致し、表現論的構成の整合性が確認される。