[論文レビュー] Generators of the Hecke algebra of $(S_{2n},B_n)$

Kürşat Aker, Mahir Bilen Can|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2010

Molecular spectroscopy and chirality参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、対称群のペア $(S_{2n}, B_n)$ のヘッケ代数に対する環生成子の集合を提示する。ここで $B_n$ はハイパーオクタヘドラル部分群である。生成子 $H_i$ は、関連するグラフにおける正確に $i$ 個のサイクルを持つ置換の和として定義され、これが代数を生成することを証明し、Sho Matsumoto による、対称多項式からヘッケ代数への写像が Jucys-Murphy 要素およびイデムポテン $\varepsilon_{B_n}$ を通じて全射であるという予想を確認する。

ABSTRACT

A set of ring generators for the Hecke algebra of the Gel'fand pair $(S_{2n},B_n)$, where $B_n$ is the hyperoctahedral subgroup of the symmetric group $S_{2n}$ is presented. Various corollaries are given. A conjecture of Sho Matsumoto is proven.

研究の動機と目的

• ヘッケ代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ の有限集合の環生成子を特定すること。これは $S_{2n}$ の整数群環の可換部分代数である。
• フィルトレーションを持つ普遍環 $\mathcal{H}$ を構成し、その関連する順次代数が Farahat-Higman の普遍環 $\mathcal{Z}$ のそれと同型であることを示すこと。
• 各 $w \in S_{2n}$ に対して定義されるグラフ $\Gamma(w)$ に正確に $i$ 個の連結成分（サイクル）を持つ置換の和として定義される $H_i$ が、$H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ を環として生成することを証明すること。
• Sho Matsumoto が提起した予想を確認すること：$n$ 変数の対称多項式 $F$ を $F(J_1, J_3, \dots, J_{2n-1}) \cdot \varepsilon_{B_n}$ に写す写像が $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ 上で全射であること。
• 本稿で構成した普遍環 $\mathcal{H}$ と Farahat-Higman の普遍環 $\mathcal{Z}$ の間に同型を確立し、表現論とヒルベルトスキームおよびクイバー多様体のコホモロジーを結びつけること。

提案手法

• ヘッケ代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ を、$S_{2n}$ 上の $B_n$-双不変関数の畳み込みの下での環として定義する。
• 各 $w \in S_{2n}$ に対して、頂点が $2n$ 個の要素からなり、$t = (1\,2)(3\,4)\cdots(2n-1\,2n)$ という対合の作用によって定義される辺を持つグラフ $\Gamma(w)$ を導入する。
• $\Gamma(w)$ が正確に $i$ 個の連結成分（サイクル）を持つようなすべての $w \in S_{2n}$ の和として $H_i$ を定義する。
• Farahat と Higman が $\mathcal{Z}$ のために行ったのと同様の方法でフィルトレーションを用いて普遍環 $\mathcal{H}$ を構成し、$\operatorname{gr}\mathcal{H} \cong \operatorname{gr}\mathcal{Z}$ を示す。
• Jucys-Murphy 要素 $J_k = \sum_{j=1}^{k-1} (j\,k)$ およびイデムポテン $\varepsilon_{B_n} = \frac{1}{|B_n|} \sum_{b \in B_n} b$ を用いて、$H_i = e_{n-i}(J_1, J_3, \dots, J_{2n-1}) \cdot \varepsilon_{B_n}$ と表す。
• ヘッケ代数における基底元の積 $K_\lambda K_{(r)}$ の構造定数が、$m_{r+|\rho|}(\lambda)$、$r!$、$|K_\rho(n+1)|$ を含む公式によって与えられ、これが定理 4.4 の主要係数公式に導くことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘッケ代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ の最小の環生成子の集合は何か？
• RQ2 ヘッケ代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ の構造は、Farahat と Higman が構築した普遍環 $\mathcal{Z}$ とどのように関係しているか？
• RQ3 Sho Matsumoto が提起した予想は正しいか。すなわち、写像 $F \mapsto F(J_1, J_3, \dots, J_{2n-1}) \cdot \varepsilon_{B_n}$ が $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ 上で全射であるか？
• RQ4 ヘッケ代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ の基底元の積の構造定数の明確な公式は何か？
• RQ5 本稿で構築した普遍環 $\mathcal{H}$ と Farahat-Higman の普遍環 $\mathcal{Z}$ の間に自然な同型があるか？

主な発見

• ヘッケ代数 $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ は、$1 \leq i \leq n$ に対して $H_i$ が、グラフ $\Gamma(w)$ に正確に $i$ 個のサイクルを持つすべての $w \in S_{2n}$ の和であると定義される。
• 本稿で構築した普遍環 $\mathcal{H}$ は Farahat-Higman の普遍環 $\mathcal{Z}$ と同型であり、両者とも関連する順次代数がヒルベルトスキーム $\operatorname{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$ のコホモロジー環と同型である。
• $H_i$ は恒等式 $H_i = e_{n-i}(J_1, J_3, \dots, J_{2n-1}) \cdot \varepsilon_{B_n}$ を満たし、Sho Matsumoto の予想を確認する。
• $H_{\mathbb{Z}}(S_{2n}, B_n)$ における基底元の積 $K_\lambda K_{(r)}$ の構造定数は、$b_{\lambda\,(r)}^{(r+|\rho|)\cup\lambda-\rho} = \frac{(m_{r+|\rho|}(\lambda)+1)(r+|\rho|+1)r!}{\prod_{i \geq 0} m_i(\rho)!}$ で与えられ、ここで $\rho$ は $m_i(\rho)$ 個のサイズ $i$ の部分からなる分割である。
• $\mathcal{H}$ の関連する順次代数は $\operatorname{gr}\mathcal{Z}$ と同型であり、$\mathcal{H}$ は可換な無限個の不定元の上の自由多項式環である。
• この構成により、$S_{2n}$ の表現論、ヒルベルトスキームのコホモロジー、およびナカジマクイバー多様体との間の直接的な関係が、普遍環 $\mathcal{H}$ を通じて確立される。