[論文レビュー] Generic 1-parameter pertubations of a vector field with a singular point of codimension k

Arnaud Chéritat, Chrisitane Rousseau|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素ベクトル場の特異点の重複度 $k+1$ を持つ1パラメータ摂動を、座標とパラメータにおける正則同相による同値関係で分類する。特異点の $k+1$ 個の固有値を符号化する関数 $ \lambda(\delta)$（$ \delta = \epsilon^{1/(k+1)}$）を導入し、2つのこのような族が座標およびパラメータの変更に関して同値であるための必要十分条件は、その固有値関数が $k+1$ 項の回転に関して同値であることであることを証明する。主な結果は、摂動されたベクトル場の標準形 $ \dot{z} = (z^{k+1} - \epsilon)\sigma(z)$（$ \sigma(0) = 1$ かつそのべき級数展開に $m(k+1)$ 次の項が存在しない）が得られ、ほとんど一意的であることが保証される。

ABSTRACT

We describe the equivalence classes of germs of generic 1-parameter families of complex vector fields z dot = omega_epsilon(z) on C unfolding a singular point of multiplicity k+1: omega_0 = z^{k+1} + o(z^{k+1}). The equivalence is under conjugacy by holomorphic change of coordinate and parameter. We provide a description of the modulus space and (almost) unique normal forms. As a preparatory step, we present the complete bifurcation diagram of the family of vector fields z dot = z^{k+1} - epsilon, over CP1.

研究の動機と目的

• 特異点の重複度 $k+1$ をもつ複素ベクトル場の1パラメータ族を、座標とパラメータにおける正則同相に関して分類すること。
• このような族のモジュライ空間を記述し、（ほとんど）一意的な正規形を構成すること。
• $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ 上のモデル族 $\dot{z} = z^{k+1} - \epsilon$ の分岐図を解析し、その特異点を含む円板への制限を考察すること。
• パラメータを固定する場合とパラメータ変更を許容する場合の2つの同値問題を、固有値関数を不変量として用いて解くこと。

提案手法

• パラメータ $\epsilon$ の $k+1$ 乗根 $\delta = \epsilon^{1/(k+1)}$ を用いて、摂動系の $k+1$ 個の特異点における固有値を符号化する固有値関数 $\lambda(\delta)$ を導入する。
• 複素時間のフロー（正則化座標）を用いて力学的性質を解析し、同相不変量を導出する。
• 環 $\mathbb{C}\{\epsilon\}$ 内での無限降下法を適用し、正規形の一意性（標準的パラメータ選択の下で）を証明する。
• Douady および Sentenac の手法にインspiredされた幾何学的・解析的技術を用いて、同相問題を、$k+1$ 項の回転による右合成に関して固有値関数の同値性に還元する。
• 任意の一般的1パラメータ摂動が、$\sigma(0) \neq 0$ を満たす形で $\dot{z} = (z^{k+1} - \epsilon)\sigma(z)$ に正則座標変換で同値に変換できることを示し、さらに $\sigma(0) = 1$ かつ展開に $m(k+1)$ 次の項が存在しないように正規化可能であることを示す。
• 固有値関数 $\lambda(\delta)$ が $\delta = 0$ でちょうど $k$ 階の零点をもつこと、および任意のこのような関数が、ある族の固有値関数として実現可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重複度 $k+1$ の特異点をもつ複素ベクトル場の一般的1パラメータ摂動において、可能な位相的構造と分岐現象は何か？
• RQ2 座標とパラメータの正則変換に関して、2つのこのような摂動が同値であるとはどのような条件か？
• RQ3 このような1パラメータ族のモジュライ空間の構造はいかなるものか？
• RQ4 このような族に対して標準正規形を構成可能か？ もし可能であれば、その特徴づけは何か？
• RQ5 固有値関数 $\lambda(\delta)$ は、特異点の力学的データをどのように符号化し、完全不変量として機能するのか？

主な発見

• 任意の一般的1パラメータ摂動は、パラメータを保つ正則座標変換により、$\dot{z} = (z^{k+1} - \epsilon)\sigma(z)$（$\sigma(0) \neq 0$）の形に同値に変換可能である。
• パラメータ $\delta = \epsilon^{1/(k+1)}$ を用いて定義される固有値関数 $\lambda(\delta)$ は $\delta = 0$ でちょうど $k$ 階の零点をもち、任意のこのような関数が、ある族の固有値関数として実現可能である。
• 2つのこのような族が座標およびパラメータの変更に関して同値であるための必要十分条件は、それらの固有値関数が $k+1$ 項の回転による右合成に関して同値であることである。
• 固有値関数は $\lambda(\delta) = (k+1)\delta^k \sigma(\delta)$ の形に正規化可能であり、$\sigma(0) = 1$ かつそのべき級数展開に $m(k+1)$ 次の項が存在しないようにできる。これにより、ほとんど一意的な正規形が得られる。
• $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ 上の $\dot{z} = z^{k+1} - \epsilon$ の分岐図は完全に記述されており、特異点を含む円板への制限は、これに由来する。
• 正規形の一意性の証明は、環 $\mathbb{C}\{\epsilon\}$ 内での無限降下法を用いており、同相写像およびパラメータ変換のすべての係数が任意の高さまで零点をもつこと、ゆえに恒等的にゼロであることを示している。