[論文レビュー] Generic and non-generic behavior of solutions to the defocusing energy critical wave equation with potential in the radial case

Hao Jia, Baoping Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、3+1次元の径数的ポテンシャルを伴う発散型エネルギー臨界波動方程式に対する径数的解の長時間力学を確立する。一般のポテンシャルに対して、解は一般に安定な定常状態へ散乱するが、任意の不安定な励起状態へ散乱する初期データの集合は、有限余次元の $ C^1 $ 多様体をなすことが示され、そのような解は非一般的であることを示している。主な貢献は、外部エネルギー不等式の新規応用と、散乱解の近傍における $ C^1 $ 多様体構成法を用いて、不安定定常状態に対するグローバルで一意かつ連結な中心安定多様体を構成したことにある。

ABSTRACT

In this paper, we continue our study [16] on the long time dynamics of radial solutions to defocusing energy critical wave equation with a trapping radial potential in 3 + 1 dimensions. For generic radial potentials (in the topological sense) there are only finitely many steady states which might be either stable or unstable. We first observe that there can be stable excited states (i.e., a steady state which is not the ground state) if the potential is large and attractive, although all small excited states are unstable. We prove that the set of initial data for which solutions scatter to any one unstable excited state forms a finite co-dimensional connected $C^1$ manifold in energy space. This amounts to the construction of the global path-connected, and unique, center-stable manifold associated with, but not necessarily close to, any unstable steady state. In particular, the set of data for which solutions scatter to unstable states has empty interior in the energy space, and generic radial solutions scatter to one of the stable steady states. Our main tools are (i) near any given finite energy radial initial data $(u_0,u_1)$ for which the solution $u(t)$ scatters to some unstable steady state $ϕ$ we construct a $C^1$ manifold containing $(u_0,u_1)$ with the property that any solution starting on the manifold scatters to $ϕ$; moreover, any solution remaining near the manifold for all positive times lies on the manifold (ii) an exterior energy inequality from [9,10,16]. The latter is used to obtain a result in the spirit of the one-pass theorem [22], albeit with completely different techniques

研究の動機と目的

• 3+1次元の径数的ポテンシャルを伴う発散型エネルギー臨界波動方程式に対する径数的有限エネルギー解の長時間的挙動を理解すること。
• ポテンシャルおよび非線形性の影響を受けても、励起状態（基底状態でないもの）が動的に安定である可能性があるかどうかを特定すること。
• 特定の不安定定常状態へ散乱する初期データの集合を特徴づけること、特にその集合が一般であるか、それともまれ（有限余次元または空内部）であるかを同定すること。
• 初期データがその状態に近いとは限らない場合でも、不安定定常状態に対するグローバルで一意かつ連結な $ C^1 $ 中心安定多様体を構成すること。
• 不安定状態へ散乱する初期データの集合がエネルギー空間で内部をもたないことを確立し、一般解が安定定常状態へ散乱することを示すこと。

提案手法

• 散乱解へ散乱する既知の解の近傍で局所的逆関数定理を用いて、特定の不安定定常状態 $ \theta $ へ散乱する初期データを含む $ C^1 $ 多様体を構成する。
• すべての $ t > 0 $ において多様体に近接したまま残る任意の解は、その多様体上に存在しなければならないことを証明し、多様体の動的不変性を保証する。
• 先行研究（例：[10, 9, 16]）における外部エネルギー不等式を適用し、大きな球の外側のエネルギーを制御することで、ポテンシャル井戸への再帰を防ぐ。
• 時間反転と双対性を用いて、波動プロファイルにおける $ L^2_t L^\frown_\rho $ 評価を導出し、空間的・時間的ノルム上での挙動を制御可能にする。
• 定常状態の周囲における線形化作用素に対する分散的推移を用い、スペクトル的性質（双曲性、ゼロ固有値・共鳴の不在）に依拠して漸近的安定性を保証する。
• [22]とは全く異なる手法を用いて、外部エネルギー不等式を用いた一回通過型の議論を展開し、不安定状態付近での振動的または再帰的挙動を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 径数的ポテンシャルを伴う発散型エネルギー臨界波動方程式において、小さな摂動に対して不安定であるにもかかわらず、励起状態（基底状態でないもの）が動的に安定である可能性はあるか？
• RQ2 特定の不安定定常状態へ散乱する初期データの集合の構造はいかなるものか？
• RQ3 不安定状態へ散乱する初期データの集合は、エネルギー空間において一般であるか、それともまれ（有限余次元または空内部）であるか？
• RQ4 初期データがその状態に近いとは限らない場合でも、不安定定常状態に対するグローバルで一意かつ連結な $ C^1 $ 中心安定多様体を構成できるか？
• RQ5 発散型非線形性と捕獲ポテンシャルの相乗効果が、励起状態の安定性にどのように作用するか？

主な発見

• すべての小さな励起状態が不安定であるにもかかわらず、$ V \notin \newcal{O} $ であるような $ \newcal{O} \ni Y $ における開集合 $ \newcal{O} $ が存在し、その中で励起状態 $ \theta $ が動的に安定である。
• $ \newcal{O} \ni Y $ における稠密な開部分集合で一般の径数的ポテンシャル $ V $ に対して、径数的定常状態は有限個に限られる。
• 特定の不安定定常状態 $ \theta $ へ散乱する初期データの集合は、エネルギー空間において有限余次元の $ C^1 $ 部分多様体をなす。
• この多様体はグローバルに定義され、経路連結かつ一意であり、すべての $ t > 0 $ において多様体に近接したまま残る解は、その多様体上に存在しなければならない。
• 不安定状態へ散乱する初期データの集合はエネルギー空間で内部をもたないため、一般の径数的解は安定定常状態へ散乱する。
• 外部エネルギー不等式を用いて、古典的一回通過定理に依拠せず、新規の $ L^2_t L^\frown_\rho $ 評価と双対性による議論により、一回通過型の結果を証明した。